Итак, давайте обсудим понятие диверсификации. Давайте начнём с примера. Пусть у нас есть акции двух фирм A и B, и обе акции стоят 100 рублей сегодня на рынке и приносят доходность либо 20%, либо 60% с равными вероятностями. И предположим, что доходности этих акций независимы друг от друга, то есть вероятность высокой доходности у одной акции никак не зависит от реализации доходности другой. Значит, это очень важное предположение. Значит, давайте значит посмотрим на, на эти акции, да, – они вот выглядят абсолютно одинаково. У них есть какая-то ожидаемая доходность 20% и есть какое-то стандартное отклонение 40%. Хорошо, теперь пусть у нас есть 200 рублей. И у нас есть выбор между покупкой двух акций одной фирмы или портфеля, который состоит из одной акции компании A и одной акции компании B. Давайте сравним эти альтернативы. Посмотрим сначала на портфель, который состоит из двух акций одной и той же компании, две акции компании A. Цена – это 200 рублей. Значит с вероятностью одна вторая это, эти, этот пакет акций принесёт нам 160, с вероятностью одна вторая он принесёт нам 320. Соответственно, всё просто удвоилось у нас тут, то есть мы вложили в два раза больше денег, вместо ста двести. Ну и доход, который эти акции нам приносят, «грязный» доход, да, тоже удвоился: вместо 80-ти и 160-ти теперь 160 и 320. Но при этом ставка, доходность, да, – она осталась точно такой же: либо минус 20, либо 60, потому что ну фактически мы просто увеличили, отмасштабировали все, увеличили в два раза. То есть в этом плане ничего не поменялось: естественно, ожидаемая доходность не поменялась, осталась 20% как у акции A, да, и стандартное отклонение – тоже как и раньше 40%. Теперь давайте рассмотрим портфель из акции A и акции B. Он тоже стоит 200 рублей, значит каждая в отдельности стоит 100, да. Но теперь у нас возможно четыре разных исхо, исхода на самом деле. Ну на самом деле три, вот, но давайте, давайте, давайте считать, что четыре: два просто из них будут одинаковыми. Значит, а именно какие исходы могут произойти? Ну одна акция принесёт 80 и другая акция принесёт 80. Может быть так, что акция A принесёт 80, а акция B – 160. Либо наоборот: акция B принесёт 80, акция A – 160. Либо обе акции приносят по 160 – самый успешный сценарий. Поскольку эти две акции независимы статистически, доходности независимы, да, то тогда каждая, каждая как бы отри, каждая из этих реализаций четырёх, да, – она происходит с вероятностью одна четвёртая. Вот ну и можно посчитать как бы суммарное, суммарный доход, который мы получим в каждой этой реализации. Он будет либо 160, либо 240, либо 320. Значит 240 получается в двух случаях, когда значит одна акция 80, другая 160, либо наоборот. Ну и получается, что теперь у нас доходность может принимать три разных значения, а не два, как раньше, а именно: минус 20, 60 и 20% в серединке. Причём эти 20% происходят у нас с вероятностью одна вторая, потому что как бы два, две таких реализации. В общем сразу можно догадаться, что волатильность у такого портфеля может быть меньше, да, потому что если раньше у нас было либо минус 20, либо 60 с вероятностью одна вторая, то теперь в серединке у нас с вероятностью одна вторая добавилась доходность некая средняя 20%, да. Вот а то, что по краям, минус 20 и 60 – у нас теперь идёт с меньшими вероятностями. Мы можем это посчитать просто вручную, математически, да. Ожидаемая доходность у нас по-прежнему 20% – это практически очевидно, да. Дисперсия, значит что такое дисперсия? То есть с вероятностью одна четвёртая у нас среднее квадрати, у нас квадратичное отклонение – это минус 0,2, минус 20%, да, минус среднее 0,2 в квадрате. С вероятностью одна вторая у нас откло, у нас доходность 20% просто равна средней доходности, то есть это скобка у нас просто в ноль обращается. Ну и с вероятностью одна четвёртая у нас 60% минус 0,2 в квадрате. В целом получаем дисперсию в восемь сотых или стандартное отклонение, или волатильность, 28,3%, что, конечно, меньше, чем 40%, которые у нас были раньше, чем 40%, которые мы получали, волатильность, которую мы получали, если мы покупали две одинаковые акции. Вот здесь я, собственно, суммирую вывод из этого примера. Портфель из двух разных акций приносит ту же ожидаемую доходность, что и две одинаковые акции, но с меньшей волатильностью. Вот это и есть диверсификация. То есть путём вложения наших денег в разные ценные бумаги, которые нескоррелированы, – подчёркиваю, это важно, – мы смогли при той же самой ожидаемой доходности уменьшить наш риск. Давайте зададимся вопросом: а что будет, если вот таких акций, которые не зависят друг от друга, больше чем две, например, 10 или 1000 или бесконечность в пределе. Ну тут нам понадобится следующая формула о том, что дисперсия суммы двух случайных величин – это просто сумма дисперсий независимых случайных величин. В случае зависимых, в общем случае это неверно, а для независимых случайных величин это верно. А также верно следующее утверждение: дисперсия величины какой-то, умноженная на константу альфа икс, да, – это просто альфа квадрат, умноженная на дисперсию икс. Это всегда верно. Ну вот теперь составим портфель из n бумаг с независимыми доходностями и одинаковой волатильностью для простоты. И также для простоты предположим, что они входят с равными весами, то есть мы одинаковое количество долларов инвестируем в каждую ценную бумагу. Тогда дисперсия такого портфеля – это что такое? Это вот дисперсия такой суммы, да, В с раз, с равными весами значит, что вес каждой доходности каждой бумаги – это единица на n. Вот тогда у нас получается дис, дисперсия такой суммы. Пользуясь второй формулой, формула, которая в серединке на слайде, мы единицу на n выносим, это будет единица на n квадрат теперь, да. Вот. А дисперсия суммы, пользуемся первой формулой, – это просто сумма дисперсий для независимых случайных величин. Ну и теперь поскольку мы предположили, что у них одинаковая волатильность, ну то есть одинаковая дисперсия, да, сумму можем убрать и заменить на n, умноженное на дисперсию. То есть у всех вот это вот дисперсия Ri, да, она у всех одинаковая. Значит, соответственно, n, умноженное на дисперсию, делить на n квадрат – это просто дисперсия каждой, доходности каждой акции, да, делённое на количество акций. Давайте посмотрим на последнюю формулу с предыдущего слайда. Вот я её здесь выписал. Значит, что тут важно? То, что с ростом n, как мы видим, с ростом количества бумаг в портфеле дисперсия, а, соответственно, волатильность уменьшается. Ну и если n стремится к бесконечности, то в конце концов дисперсия вообще пропадает у нас. То есть у нас получается полная диверсификация. Ну, а если так, то доходность такого портфеля должна быть безрисковой. Ну почему? Потому что иначе можно было бы делать арбитраж. То есть, например, если бы дох, ожидаемая доходность портфеля была бы больше, чем безрисковая доходность, да, тогда инвестор мог бы взять деньги в долг под ставку, под безрисковую ставку, вложить эти деньги в этот портфель и фактически заработать «бесплатную» гарантированную прибыль. то есть он будет получать доход от этого портфеля безрисковый, будет выплачивать проценты, да, и доход, будет выплачивать проценты на те деньги, которые он взял в долг, да, и соответственно, доход на портфель будет превышать эти проценты. При этом он никаких денег своих не потратил, то есть это арбитраж в чистом виде. Вот, если доходность портфеля меньше, чем бизрисковая ставка, то инвестор мог бы продать такой портфель. Возможно сделать короткую продажу и вложить деньги в безрисковые облигации под безрисковую ставку. Опять же у нас как бы получается арбитраж, потому что безрисковая ставка превышает ставку по, превышает доходность, которую зарабатывает этот портфель. Получается «бесплатная» гарантированная прибыль, и это тоже арбитраж. И в общем, если бы инвесторы такие действия делали бы на рынке, то в конце концов было бы давление на цены и доходности бы выровнялись. Вот, но если отбросить даже эти рассуждения про арбитраж, то просто чисто интуитивно, да, если у нас какая-то бумага или какой-то портфель приносит безрисковый доход, то, конечно же, его доходность должна быть безрисковой на рынке, на совершенном рынке. Хорошо, значит тогда что у нас получается? Значит поскольку у нас доходность всего портфеля – это просто некая взвешенная сумма доходностей компонентов портфеля, то доходность каждой акции в таком портфеле, ну по крайней мере в среднем, должна быть безрисковой, да. То есть напомню еще раз, мы сейчас рассматриваем портфель, в котором акции некоррелированы между собой, вот. Значит, что получается? Что если у нас, например, безрисковая ставка 5% и у нас очень много независимых акций в портфеле, да, то акция A должна на самом деле стоить не 100 рублей, как мы предположили, да, а 120, то есть это то, что в среднем она приносит завтра, отдисконтированная по безрисковой ставке. То есть получается 114,3 рубля. Вот, но это если бы их очень было много, да. Если, например, у нас всего две их, A и B там, да, то в принципе возможно, естественно, то есть это ничего удивительного, что цена на самом деле может быть меньше и доходность больше, потому что с двумя акциями мы не можем достигнуть полной диверсификации. Хорошо, значит, что отсюда следует? Значит доходность акции даже с большой волатильностью может быть очень мала и на самом деле близка к безрисковой. В идеале, когда у нас, ну в пределе, когда у нас таких акций некоррелированных очень-очень много, да, и несмотря на то, что каждая из них является рискованной, их доходность будет очень близка к безрисковой. Что кажется странным на первый взгляд, потому что вроде бы мы смотрим на инструмент, котор, у которого большая потенциально волатильность, да. Вроде бы должна быть какая-то премия за риск, да, а тем не менее доходность безрисковая. Значит какая здесь интуиция? Значит, можно сделать такую догадку, что на самом деле доходность акции определяется не её волатильностью самой по себе, а её способностью уменьшать волатильность портфеля, то есть способностью к диверсификации, способностью приносить что-то в диверсификацию портфеля ценных бумаг. Это пока некая такая интуитивная догадка. Чуть позже мы это дело формализуем. значит, смотрите. Теперь возникает такой интересный вопрос. Если вы посмотрите на пред, на график, который я вам раньше показывал, давайте я вернусь к нему, вот этот график. Что же мы видим на этом графике? Вот у нас есть это облако акций, которые входят в этот большой портфель S&P 500, большое количество акций. Ну, во-первых, даже если мы возьмём сам индекс, да, то есть комбинацию всех этих акций S&P 500, то его волатильность довольно далека от нуля, несмотря на то, что мы включили в него довольно много разных акций. Вот, во-вторых, если мы посмотрим на доходность, средняя доходность этого облака, ну или фактически доходность S&P 500, – она довольно сильно отличается от безрисковой. Безрисковая доходность – это примерно вот где у нас treasure bills, казначейские облигации, да. Можно считать, что их доходность близка к безрисковой. Вот, и доходность S&P 500 довольно сильно отличается. Значит, почему же так получается у нас? А ответ тут такой, что на самом деле у нас есть корреляция между доходностями акций. То есть что я показал на предыдущих двух слайдах, что если корреляции нет между доходностями, то мы можем добиться полной диверсификации путём увелич, увеличения количества акций до очень большого, да. Вот значит, если есть корреляция, то, к сожалению, этого добиться невозможно. Ну в частности, например, из нашего примера, где у нас есть акция A и акция B, да. Когда мы составляли портфель, состоящий из двух одинаковых акций – двух акций A, да, – то мы никак не уменьшили риск, да. Волатильность этого портфеля была равна просто волатильности одной акции A. Ну и, естественно, дело было в том, что просто две акции A были совершенным образом коррелированы между собой. Давайте посмотрим на корреляцию поподробнее.
