Ну, давайте зафиксируем какой-нибудь набор пятерок, зафиксируем M1,..., M15. Сколько всего, сколько всего есть раскрасок вот этого множества натуральных чисел от 1 до 30 в два цвета? Сколько всего? 2 в 30-й, конечно. Конечно, 2 в 30-й. Это снова ничего больше, как просто правило умножения: каждый элемент мы можем покрасить как в красный, так и в синий цвет. Всего два варианта, и эти двойки надо перемножать в количестве 30-ти штук, потому что мы за каждым цветом можем поставить любой другой. Итого всего 2 в 30-й степени различных раскрасок. Теперь давайте спросим так: а сколько, — хорошо бы дверь, конечно, закрывать, — а сколько есть раскрасок, в которых M1, которое мы зафиксировали с вами, в которых M1 одноцветна вопреки нашим ожиданиям? Сколько есть раскрасок, в каждой из которых M1 одноцветна? В общем, да, в общем, да. Вот я нарисую такую сардельку, это у меня будет M1. Значит, M1 у меня состоит из 5-ти элементов, вот здесь вот у меня 5 элементов. Но всего элементов у меня 30, которые я крашу, — давайте я условно вот так это дорисую, — всего элементов 30, значит на вот этих вот пунктирных позициях остается еще 25 свободных элементов. Понятно, что каждый из этих 25-ти элементов мы можем снова покрасить как угодно, это никак ведь не повлияет на цвет множества M1. Таких вариантов 2 в 25-й степени, значит это количество способов покрасить элементы, которые не принадлежат множеству M1. Почему же всё-таки ответ 2 в 26-й? Потому что M1 можно целиком покрасить в синий цвет, а можно целиком покрасить в красный цвет, то есть вариантов 2, и мы получаем действительно 2 в 26-й степени раскрасок, в которых M1 оказывается одноцветным. Ну, хорошо, а если я здесь M1 заменю на M2? Ответ, конечно, будет такой же: M2 фиксировано, значит, конечно, для него тоже 2 в 26-й степени. И для M3, что удивительно, да? И даже для M15, — для каждого из них будет 2 в 26-й степени раскрасок, в которых оно одноцветно. Хорошо, а сколько раскрасок, — следующий уровень абстракции, — сколько есть всего раскрасок, в которых хотя бы одно, хотя бы одно из множеств Mi одноцветно? Для каждого Mi количество раскрасок, в которых оно конкретно и одноцветно, 2 в 26-й степени. Ну, конечно, множество тех раскрасок, в которых, скажем, одноцветно M1, и множество тех раскрасок, в которых одноцветно M3, они пересекаются, правда же? Они пересекаются по раскраске, которая, например, всем элементам присваивает красный цвет, уж точно. То есть эти множества раскрасок, в которых они одноцветны, конечно, пересекаются. Поэтому это количество строго меньшее, чем 15 * 2 в 26-й степени. Просто сумма мощностей, ничего больше. Ну, смотрите, давайте просто я обозначу через A1, через, извините, Ai, — так, только потише, — давайте я обозначу через Ai множество раскрасок, множество раскрасок, в которых, в которых одноцветно, в которых одноцветно множество Mi. Мы знаем, что мощность Ai, количество раскрасок, в которых оно одноцветно, это 2 в 26-й степени, правильно? Вот, кто поднимал руки, понимаете, да ведь? Вот, теперь, что значит, сколько раскрасок, в которых хотя бы одно из множеств одноцветно? Это просто мощность объединения по всем i от 1 до скольких там, до 15-ти, да, — от 1 до 15-ти вот этих самых Ai, вот она нас интересует. Объединение Ai, оно как раз и состоит из тех раскрасок, в которых хотя бы одно из Mi одноцветно. Понимаете? Это же объединение и есть. Но мощность объединения, очевидно, не превосходит суммы опять же по i от 1 до 15-ти мощностей Ai. И я написал значок строго меньше, имея в виду, что тут заведомо есть и пустые пересечения, поэтому мощность объединения на самом деле даже строго меньше, чем сумма мощностей. Ну а сумма мощностей — это в аккурат 15 * 2 в 26-й степени, и я надеюсь, что сейчас всем понятно. Ну отлично. А теперь катарсис простейший. Смотрите, 15 — это меньше, чем 2 в 4-й? Значит, это меньше, чем 2 в 30-й, все вместе. То есть, смотрите, правильно: всего раскрасок 2 в 30-й степени, всего раскрасок 2 в 30-й степени, а раскрасок, которые дурные, которые гадят хотя бы одно множество, то есть оставляют его одноцветным, их меньше строго, чем 2 в 30-й степени. Меньше строго. Значит, бывают раскраски, в которых каждое множество неодноцветно, но мы ровно это и утверждали. Всего раскрасок 2 в 30-й, раскрасок, которые оставляют хотя бы одно множество одноцветным, строго меньше, чем 2 в 30-й, значит, бывают раскраски, в которых все множества неодноцветны. Доказали?