Посмотрим такие последовательности, в большой науке их называют векторами, с координатами x₁, ..., xn. Очень похожи на школьные векторы, только они в размерности n. Как, вот, пугает такая штука? А? Ну, если пугает, расслабьтесь. Ну что делать? Ну вот хочется мне этот пример привести, и если будет прямо сильно непонятно, ну переживем. Ну хочется. Очень хочется. Давайте считать, ну просто последовательности чисел. Ну, в конце концов, чего такого-то? Жалко, что ли рассмотреть последовательности чисел? Вот такие последовательности, как автомобильные номера – число за числом, число за числом. Никаких проблем. Ну, давайте считать, что для любого i от 1 до n, xi – это либо −1, либо 0, либо 1. Давайте рассматривать только последовательности, которые состоят из −1, 0 и 1. Ха! Так я сейчас еще проще сделаю, вы сейчас расслабитесь совсем, всё будет хорошо. Смотрите, давайте считать, что n = 8. Правда же, так легче? Ну куда приятнее считать, что мы живем в восьмимерном пространстве, нежели, что мы живем в n-мерном, правда? Вам спокойнее так становится, конечно. Подумаешь, всего на пять размерностей выше, чем на самом деле. Не так много. Значит, давайте считать, что n = 8, и давайте считать вот какую штуку: количество таких координат i, количество таких i от 1 до 8, что xi = 0, вот это количество пускай будет равно 4. Пускай будет равно 4. [ПАУЗА] Ну, значит, как устроена типичная последовательность здесь? В ней четыре нуля, и четыре элемента, равные + или −1, правда? Ну то есть, типичная последовательность, например, такая: 1 −1 −1 −1 0 0 0 0. Вот бывает такая последовательность. А бывает, скажем, последовательность 1 1 1 1 0 0 0 0. Или бывает вот такая последовательность: 1 −1 1 −1 0 0 0 0. Но, разумеется, мир клином не сошелся на ситуациях, когда у нас сначала подряд идут не нули, а потом подряд идут нули. Можно их как-то тоже перемежать между собою. Я сейчас ни в коем случае не спрашиваю у вас, сколько будет всего таких последовательностей, потому что мы формально это задачу решать не умеем. Это я вас еще учить буду... Скоро. Ни в коем случае не спрашиваю. А теперь знаете, как проверить, являются ли два вектора на плоскости, скажем, ортогональными? Перпендикулярными? Что надо посчитать? Скалярное произведение, правильно? Вот, давайте скажем, что две такие последовательности ортогональные, если их скалярное произведение равняется 0. Значит, x ортогонален y, ортогонален y тогда, и только тогда, когда скалярное произведение этих двух последовательностей равняется 0. Ну вы, наверное, меня спросите, а что такое скалярное произведение, да? Что на плоскости понятно, а в 8-мерном случае? А что такое скалярное произведение в 8-мерном случае? Ну конечно, да, то есть, давайте я вот напишу: x на y, по определению просто, это есть x₁y₁ + x₂y₂ +... + x₈y₈. То есть, если такое выражение равняется нулю, то мы называем два вектора ортогональными. Две последовательности чисел называем ортогональными. Не думайте там, про геометрическую суть, сейчас это не так важно. Задача чисто комбинаторная. Задача такая. Задача: как много можно придумать, построить вот таких вот векторов x, вот таких вот векторов x, как мы их описали, чтобы никакие два из них, чтобы никакие два из них [ПИШЕТ НА ДОСКЕ] не были ортогональными? [ПИШЕТ НА ДОСКЕ] [ПИШЕТ НА ДОСКЕ] То есть, вы придумываете какой-то набор таких вот последовательностей чисел и требуете, что какие бы две последовательности из этого набора вы ни взяли, вот этим условиям они не удовлетворяют. Никакие две не ортогональные. Вот спрашивается: как много можно придумать таких последовательностей? Ничего не понятно, да? Ну то есть, вообще не понятно, как ответить на этот вопрос? А я вам скажу – а я не знаю ответ на этот вопрос. То есть, я серьезно, я не знаю, какова максимальная мощность совокупности векторов, которые попарно неортогональны, это сложная задача. Вот эта задача – сложная. Понимаете, вроде на поверхности лежит, а она уже сложная. Вот кто здесь такой продвинутый? Попробуйте порешать. Что говорите, нужно? Нет, я вам сейчас объясню, как можно оценить количество векторов здесь. Конечно, нет, точный ответ, точный ответ, если вы решите, вы будете вообще в героях. Мы с вами статью опубликуем. В журнале. Нет, понимаете, я просто хочу вам продемонстрировать, что даже в самых основах комбинаторики есть вопросы, которые на самом деле очень интересны мировому сообществу. Я хочу, чтобы вы восхитились, чтобы вы порадовались. Вот, а задача эта была приведена, как пример на задачу, которую, можно если не решить, то хотя бы приблизиться к её решению с помощью принципа Дирихле. Вот утверждение, которое я хочу сейчас обосновать, ну... это утверждение я сейчас, наверное, обосную. Значит, утверждение состоит в том, что размер такой совокупности, мощность такой совокупности, мощность такой совокупности, совокупности векторов, точно не превосходит 70. Я хочу доказать, что 71, скажем, 71, такой вот вектор, вы не сможете построить ни за что. Это утверждение. Если вы хотите, чтобы каждые два вектора в совокупности были попарно неортогональны, то вы точно не сможете построить совокупность, большую 70.