Так, полиномиальная формула это называется. Полиномиальная формула. [ПАУЗА] Ну, я надеюсь, вы у нас еще и филологи большие и понимаете, что бином – это двучлен, по сути, а полином – это многочлен. Но, а чего было два в биноме? Слагаемых. x + y, правильно? Ну, значит, в полиномиальной формуле будет вот так: x₁ + x₂ +... + xk, то есть вместо двух слагаемых будет произвольное количество слагаемых, k-штук. А это всё будет возводиться точно так же в n-ную степень, как и в биноме. Ну и как выглядит формула? Как раскрыть скобки, коль скоро мы желаем возвести в n-ную степень? А давайте будем действовать последовательно и, в конечном счете, придем к теореме. Ну, просто, понимаете, если я сейчас напишу теорему, то некоторые выпадут в осадок. Ну вы испугаетесь, ну не вы лично, но вот кто-то испугается формулы суммы по натуральным, там, это сложно. Давайте я сейчас сначала напишу доказательство, а потом естественным образом получу ответ. Ну как? Надо просто перемножить скобки, заодно, как частный случай, мы передокажем и бином тоже для случая, когда k равняется 2. Итак, надо перемножить скобки: (x₁ + xk) * … * (x₁ ... xk), и вот в этом произведении у нас n-сомножителей. Ну, давайте раскрывать скобки, ну, разумеется, я не предлагаю их раскрывать тупо, то есть прям вот честно выписывать все мономы, одночлены, которые получаются. Давайте подумаем, как вообще скобки раскрываются? Мы из каждой скобки берем какую-то переменную и потом, всё, что взяли, перемножаем, да? Потом берем как-то по-другому, снова перемножаем и прибавляем к тому, что взяли в первый раз. И так вкладываем всё, что только можно, верно? Ну, а давайте через n₁, сейчас катарсис, давайте через n₁, через n₁ обозначим количество скобок, количество скобок, из которых, из которых взяли x₁. Вопрос: чему может равняться величина n₁? 0 может? Почему не может, а что мы обязаны из каждой из какой-то скобки брать x₁? Не, мы, например, можем из всех скобок взять xk-тое. Конечно, n₁, оно может быть и нулевым, и единичным, и даже, и даже n, конечно, мы можем из каждой скобки взять x₁, то есть оно может быть любым совершенно. Количество скобок, из которых взяли x₁, может быть любым. Так. Давайте через n₂ обозначим количество скобок, из которых взяли x₂. Из которых взяли x₂. Ну, я думаю, вам понятно, что n₂ теоретически тоже может принимать любое из этих n + 1 значений? Другой разговор, что n₂ в сумме с n₁ всё-таки должно не превосходить n. Ну и так далее. В конечном счете, пишем nk-тое, это количество скобок, количество скобок, из которых взяли xk-тое и опять всё прямо по тексту, nk-тое – это любое число из вот этого множества. А что можно еще сказать про наши чиселки? Их сумма, конечно, должна равняться n. То есть, теперь уже понятно, что, давайте вот здесь продолжим. Ну да, n₁ +... + nk, в точности равняется n, то есть, мы приходим, в общем-то, к той же конструкции, которая была со словами. Ну хорошо, вот пусть у нас n₁ скобок, n₂ скобок, nk скобок. Что ж получается при перемножении? Ну, понятно, при перемножении получается вот такая штука: x₂ в степени n₂, ..., xk в степени nk, правильно? Вот этой конкретной ситуации, если мы из n₁ скобок взяли x₁, из n₂ скобок взяли x₂ и так далее, то при перемножении, мы, конечно, получим вот так. Все успевают? Все, точно? Вопрос: а сколько раз мы получим вот так? Вообще смысл вопроса всем понятен? Вы ж понимаете, что n₁ скобок, из которых мы возьмем x₁, мы можем выбрать кучи способов. А сколькими способами можно взять n₁ скобку для последующего извлечения оттуда переменной x₁? Конечно! C из n по n₁ – это как раз количество способов взять n₁ скобок для извлечения переменной x₁. Успеваете за таким темпом? Ну смотрите, если вы уже взяли n₁ скобку, сколько у вас осталось? Столько, правильно? И вам нужно выбрать n₂ скобки, чтобы из них уже взять x₂, потом из C из n − n₁ − n₂ вы возьмете n₃ скобки для извлечения x₃ и так далее. Ну, последняя тоже понятна. Понимаете, что это в точности n! поделить на n₁! … nk!, то самое количество, с которым мы только что имели дело? Вот поднимите руки, кто это понимает сейчас? Круто! Круто! Так, шикарно! Так что же у нас получается после вот этого значка равенства? Теперь мы можем сформулировать теорему. А? Ну, давайте, давайте я, что ли, вот это вот сотру всё-таки. А, ладно, сюда перемещусь, вот так, равно, вот это «равно» относится вот к этому «равно». Равно, и оно переместилось сюда, давайте я это напишу, надо просуммировать, просуммировать по всем способам, выбрать числа n₁ ,..., nk, по всем способам выбрать числа n₁ ,..., nk, такие, что для любого i n-итое принадлежит 0, 1, ..., n. И, кроме того, сумма чисел n₁ +... + nk, тоже равняется n. Заметьте, наборы этих чисел, конечно, упорядоченные. Важно, в каком порядке вы берете числа, каждый из которых находится вот здесь, и такие, что в сумме они дают как раз n. И вот по всем таким наборам надо просуммировать такие величины: p (n₁, ..., nk), то есть вот это вот, помножить на, разумеется, вот такую штуку: x₁ в степени n₁, x₂ в степени n₂, ..., xk в степени nk. Меня в этом месте пугает по-прежнему только понимаете ли вы, что значит вот такое суммирование? Просто надо перебрать все способы, построить такую последовательность чисел и для каждого из этих способов вычислить вот это выражение, а потом сложить всё, что получится. Мы берем множество всех таких вот последовательностей, для каждой из них вычисляем вот это, и всё-всё-всё складываем.