Давайте подумаем, чему равняется... сейчас у меня будет неполная индукция в каком-то смысле, то есть я приведу несколько примеров и станет все понятно. Давайте подумаем, чему равняется μ от (1, p), где p — это простое число. Давайте аккуратно подумаем, как это надо посчитать. Надо смотреть вот на эту запись, да? Надо понять, какие натуральные числа находятся вот в таких вот приделах между 1 и Р. Что значит, что они находятся в таких пределах? Это значит, что они должны делиться на 1, да? Но при этом должны служить делителями Р. И не совпадать с Р. Какие бывают такие числа? 1. Правильно. Значит, у нас остается здесь просто − μ (1, 1). Смотрите, какая прелесть. Оказывается, μ (1, р) = −1. Так, ну и в этом ключе μ (1, р) есть ни что иное как μ* просто от (р). Так что μ* от простого числа по определению равнялось −1. Это мы с вами знаем. Обычная функция Мёбиуса. Так, давайте посмотрим, что будет, если взять μ (1, р1 * р2 * … * рk). Что будет, если в качестве n взять произведение простых, каждый из которых в первой степени? Ну я думаю, что вы догадываетесь, что будет. Ну, наверное, будет (−1) в k. Да? Так хотелось бы, чтобы это получилось. А как это доказать? Ну давайте просто докажем. Я утверждаю, что это (−1) в k степени. Пока что это утверждение оказывается под вопросом, потому что непонятно, откуда это следует. Да? Ну а давайте считать, что просто по предположению индукции мы все это дело доказали для меньшего числа сомножителей. Для одного-то доказали. Видите, для одного у нас все доказано. База индукции есть. Давайте сделаем предположение индукции. Давайте будем считать, что для всех произведений вплоть до k − 1 у нас доказана вот эта формула. Понятно? Ну давайте проделаем все-таки, μ(1, р1, р2, ..., pk). Как это нужно расписать в соответствии с вот этой вот замечательной рекуррентной формулой? Ну это равняется минус, ну а чего дальше надо просуммировать? Значит, надо просуммировать по всем числам Так, сейчас. Да, да, да, все хорошо. Значит, надо просуммировать по всем числам промежуточным между 1 и вот этим. Да? Причем с 1 они могут совпадать, а вот с этим уже не могут. Ну и какие же там промежуточные числа? Ну, во-первых, есть 1 все-таки. Давайте с 0 начинать. Давайте вот с этой 1 начнем. Верх есть сама 1, правильно? То есть там будет μ(1, 1). Ему деваться некуда. Дальше, что еще бывает? Бывают всевозможные простые делители этого числа, правильно? Ну, то есть μ(1, р1) + … + μ(1, pk). Так, что еще бывает? Все совершенно понятно. Бывает μ(1, р1р2) + … + μ виноват, я не то написал, μ(1, pk − 1 pk) + … + и последнее, что будет? Вопрос к слушателям. Какой набор слагаемых будет последним? Всевозможные произведения размером k − 1, да? То есть будет μ( р1, р2) + … + pk − 1 + … + μ (р2, …, pk − 1, и вот здесь еще pk). А 1 забыл нарисовать. Спасибо большое. Да, это же под запись еще идет. Здесь вот так, конечно, еще 1. Спасибо большое. Да, конечно, здесь 1. Забыл на радостях. Ну потому что радость полная. Смотрите, сколько таких слагаемых? Стандартная ситуация, мы сегодня, наверное, еще с таким столкнемся. Сколько слагаемых такого вида? Ну очевидно их C из k по 0. И каждый из них имеет значение 1. Сколько слагаемых такого вида? Их очевидно C из k по 1. Вот это все. Их C из k по 1. И значение каждого из них — это −1 в первой. Правильно? По предположению индукции. Таа. Вот таких ребят С из k по 2 и по предположению индукции здесь стоит −1 в квадрате. Ну а последних товарищей, вот этих вот, их С из k по k − 1. И значение для каждого их них — это −1 в k − 1 степени по предположению индукции. Согласны? Вот. Ну и чего у нас получается? Минус вот этот вот за скобкой остается. А что остается в скобках? В скобках остается альтернированная сумма, которая была бы равна 0, если бы мы к ней еще прибавили слагаемое С из k по k на −1 в k степени. Согласны? То есть сумма, которая стоит в скобках, это (−С из k по k (−1) в k степени. То есть, если вот эту штуку к ней добавить, то получится просто 0. Это мы знаем. Поскольку она все-таки не добавлена, то получается вот такая фигня Но минус на минус дает плюс. С из k по k — это просто 1. Остается (−1) в k и индукция полностью завершена. Видите, я даже сподвигся аккуратно по индукции доказать. Я, честно говоря, хотел заявить, ну ребят, ну сейчас все в неполной индукции сделаем, очевидно же. Но нет, это тождество стандартное, оно действительно приводит нас к этому результату. То есть, смотрите, какое счастье. Оказывается, что μ от 1, р1 *... * pk — таки просто μ* от того самого произведения р1... рk. То есть мы опять имеем совпадение вот этой обобщенной функции Мёбиуса с известной нам классической теоретико-числовой. Она вот просто в точности совпадает с ней.