[音樂]
各位同學大家好！這個禮拜我們的主題是樑的變形。
在之前我們已經看過樑的彎矩圖、 剪力圖怎麼畫，
然後我們也知道彎矩圖、 剪力圖這些樑內部所受到的內力
跟這個斷面上面的這些材料所受到內應力之間的關係到底是什麼樣子。
那我們今天要看的呢是樑受彎產生的外部變形，例如這根樑它所產生的轉角 跟它的變位量這些關係。
那它跟樑受 到的彎矩啊、 剪力這些東西是不是也有關係呢？ 然後如果我們想要求一根樑受彎之後，
它在每一點的變位的情況，每一點的轉角的大小，我們又應該要怎麼樣去做呢？
這些都是在這個禮拜的影片會為大家介紹的。
好，那我們首先先來看樑的變形。
我們再度以這樣子的一根懸臂梁來為大家做解釋。
它在自由端的地方受到一個向上的集中載力 p，
然後呢紅色的就是它受到這個集中載重 p 力的作用之後呢，它變形的樣子。
那我們也一樣沿著這跟樑的這個軸向的地方呢，我們把它當作是 x
軸， 然後這個垂直的方向這邊是 y 軸。
那所以它每、 這個紅色的每一點它會有一個 y 座標，那個
y 座標 啊我們就用 v 來代表，那 v 當然它就是一個 x 的函數，那這個
v 代表的就是這跟樑的，我們叫它是 變形量或變位量，那英文就是這邊 Deflection。
所以這個紅色這條線就是我們的 Deflection Curve。
好，那在這邊這一張 圖是我們上個禮拜就已經常常用到的，你可以看到它在每一點
有對應一個曲率半徑，然後呢 在這邊我們也看到上次我們講到的，就是這個曲率半徑的
一個導數呢，我們叫做 curvature，就是這根樑的曲率。
然後它曲率呢跟這個 θ 呢就是，例如說這個 curvature
是這一點的 curvature 的 話，它其實呢就是 這一點的這個轉角。
什麼是轉角呢？就是這一點的這個切線，這個樑變形的切線 跟水平線之間的這個轉角。
那通常我們是以逆時針作為正的 一個轉角。
這個轉角呢，在小變形的假設之下，在小變形的假設之下， 它其實這個轉角把它對 x 微分，其實就是那一點的 curvature。
OK?
這個是我們上次已經學過的一個關係。
好，所以就是轉角把它對 x 微分，它其實會變成 curvature。
OK，那我們再用這張圖來看，那大家可以更清楚地看到這個轉角。
就是在這一點，它的轉角就是從水平轉到它這個切線，所以這個角度我們叫 θ。
那再往前進一點的這一點呢？你看它的轉角變成 θ 加 dθ。
OK，好，那這之間，這兩個曲率半徑之間夾得這個角度就是 dθ。
OK，好，那它這邊呢代表這一點的變形是 v，
然後它走，往前走一個 dx 之後呢，現在它的變位變成 v 加 dv。
OK，那我們現在來看一下，這些參數之間到底有沒有什麼樣的關係。
好，那大家可以看到我的 θ 呢其實就是這一點的切線。
對不對？因為在小變形的地、 小變形的假設之下，θ 其實大約等於 tan θ。
那 tan θ 呢就是、 就是這一點的切線對不對？這一點的切線斜率。
好，所以 tan θ 又大約等於 dv 除以 dx。
所以從這兩個裡面，我們可以得到一些很重要的關係。
就是我把我的轉角對 x 微分，它會近似於那一點的 curvature。
OK，那如果我把我的變位 它是一個
x 的函數，我把它對 x 微分，那, 那個值呢會近似於該點的一個轉角。
所以也就是說如果我把我的變位對 x 兩次微分，其實就會近似於該點的曲率。
所以我們把我們的變位變形，對 x 微分一次變成轉角。
轉角再去對 x 微分一次，就會變成曲率這樣子的一個關係。
好，有了這個 curvature
跟這個變位之間的關係之後呢， 大家還記不記得這個
curvature 跟彎矩之間也是有關係的？
我們以前有介紹過斷面的這個 curvature 跟它斷面所受到
內部的這個彎矩之間的關係，其實就是 M 等於 EI 乘上 curvature。
一個好像類似胡克定律的一個關係。
如果是這樣子的話， 我們就可以把剛剛這樣子的一個微分關係，再做進一步的 伸展。
這個 curvature 跟 M 的關係，是我們之前介紹的，那好像另外一種 胡克定律一樣。
那當然這個關係只有在樑還 維持在線彈性的狀態的時候，它是存在的。
一旦你的 moment 加得太大， 然後你的樑斷面有一些材料開始進入降伏的時候，
那這個關係就是，就不見得是成立的了。
好， 我們現在已經建立了這個
curvature 跟moment 之間的關係。
但是我們以前有學過如果你把你的 moment 再對 x
再微分一次， 它其實會變成剪力，如果你把你的剪力
對 x 再微分一次，它會變成 -q。
對不對？這個是我們之前介紹過的。
如果我們今天講的是一個 Prismatic Bar 的 情況，就是說它的
EI 值在整根樑上面全部都是一個定數。
這樣子的情況呢，那 EI v'' 這個是 moment，所以我們把 moment 微分變成剪力。
也就是說我的 EI 然後 V 微分三次，它其實就是剪力。
然後呢，如果我們再把它再微分一次， 它變成
EI，然後把 V 微分四次，其實就會變成是負的 q。
如果今天我們看的是一個 Non-prismatic Bar，就是說在這整根樑
這個沿著軸向的這個、 這個 x 軸前進的時候呢，它的這個
EI 值並不是一個定數的時候，所以就是 EI 值它是一個 x
的函數的時候， 那它們這個 M
還有 V， 還有 -q 的這個微分關係它還是存在的。
但是我們微分的時候，把 M 微成 V 的時候，
那在左手邊這邊，我們微分就要全部都要微。
所以你就可能是前面要微分，再乘後面，再加上後面再微分，乘前面。
這樣子的一個、 那個連鎖侓的東西要用進來。
但是基本 上還是就是一直微，從 M 微、 微了一次變 V，V 微了一次變 -q 的關係。
然後在另外這邊呢，你就可以知道 我們不但可以把它的變形跟彎
矩的這個關係，式子把它建立起來，我們也可以 把變形跟剪力，還有變形跟這個
q 的這個關係都建立起來。
黃尹男副教授 (Associate Professor)
