Bonjour, bienvenue au cours de physique
générale de l'EPFL. Dans cette leçon, on traite de
problèmes de mécanique de solides indéformables, avec un axe fixe.
Et on a dérivé une équation du mouvement qui fait intervenir un moment d'inertie.
On voit bien que le calcul d'un moment d'inertie est important.
En général, dans la pratique, on utilise des valeurs tabulées.
Cependant, j'ai trouvé intéressant de voir ici, comment calculer
une grandeur physique qui est définie en tant que intégrale.
On va calculer le moment d'inertie d'une barre homogène, et ensuite,
d'un cylindre plein. On finira avec une formule très importante
quand on doit calculer les moments d'inertie, c'est ce qu'on appelle la
formule de Steiner. Je pars de ma définition.
C'est une définition du moment d'inertie
d'une barre qui est formelle, on a supposé qu'on pouvait décomposer
notre solide en point matériel de masse m alpha à une distance
d alpha de l'axe delta, et maintenant, si on considère quelque
chose comme une barre homogène, comment est-ce qu'on va utiliser cette formule?
Eh bien, on va définir une densité de
masse par unité de longueur : une densité linéique.
Je prends la masse totale de l'objet, je divise par la
longueur totale de l'objet, ça fait une masse par unité de longueur.
Maintenant, pour le m alpha, on va avoir un d m, un
élément infinitésimal de masse qui est rau fois un
élément infinitésimal de longueur le long de la barre, d l.
Voilà la barre, de longueur l, et
on cherche le moment d'inertie pour l'axe delta
qui passe par le milieu de la barre. On doit donc en principe sommer une
somme de masses fois les distances au carré, et maintenant ce qu'on va faire,
c'est qu'on va prendre un élément de masse, de longueur d l,
de masse d m, et il faut faire
somme d l carré. Ici, on va considérer que
ça c'est la distance d alpha, qui devient ici
un l, on aura l carré, fois d m. Je l'écris.
On doit calculer le moment d'inertie, qui est une intégrale, lorsque
la variable l va d'un bout à l'autre de la barre, moins l sur 2 à l sur
2, l'élément de masse, rau d l, l'équivalent du m alpha,
et la distance au carré, l carré. On a donc l'intégrale de l carré, ça
fait l cube sur 3, pris entre moins l sur 2, l sur 2, ça nous donne ceci.
Si maintenant le rau ici on lui met sa valeur
m sur l, on trouve m l carré sur 12.
Voilà comment conduire le calcul d'un
moment d'inertie pour un cas particulièrement simple.
Regardons maintenant un problème un peu plus complexe,
celui d'un cylindre plein ou d'un disque, la symétrie
est à peu près la même, un disque,
c'est un cylindre très court, si vous voulez bien.
Donc on aura le calcul pour l'un et pour l'autre.
Alors, je pars de cette définition-là.
Mais maintenant je veux transformer cette somme en intégrale,
je commence par définir une densité volumique, la densité volumique,
ça va être la masse totale, divisée par le volume total.
Je suppose un cylindre de rayon r et de longueur l, pi r
carré, ça fait la surface de la section, fois la longueur, le volume.
Je vais travailler en coordonnées cylindriques, Vous avez ici l'angle
que je vais appeler thêta, vous avez la coordonnée z qui définit
la hauteur au-dessus du plan o, x, y. Et vous avez la variable r.
Maintenant, un élément de masse comme celui-ci, un volume qui
est donné par l'accroissement d r dans cette direction-là, r d thêta,
cette longueur-là, ça vaut r
fois le d thêta,
et cet élément de longueur dans la verticale, c'est simplement d z.
Donc je dois calculer le i delta, c'est cette somme
de masses fois des distances au carré. Ca devient l'intégrale quand z varie
de moins l sur 2, à l sur 2, l'intégrale lorsque thêta
varie de 0 à 2 pi, l'intégrale lorsque la variable petit
r varie entre 0 et le rayon, de la distance au
carré, r carré, c'est le d alpha au carré, ça
devient r carré fois l'élément de masse. À la
place du m alpha, on a un d m, qui vaut rau, la densité volumique fois
l'élément de volume, d z, r d thêta, t r. L'intégrale
sur thêta est triviale, elle va donner 2 pi.
L'intégrale sur d z va donner simplement l, il me reste ceci.
Maintenant je constate que j'aurais pu arriver à cette simple
expression en considérant un tube, ce
tube-là, d'épaisseur donnée
par d r, de rayon r, et cet élément,
ce tube-là, aurait un volume
qui vaut 2 pi r, fois d r, ça, ça fait
l'aire de cette surface que j'ai dessinée ici,
fois la longueur qui vaut l. Et ça,
il faudrait le multiplier par rau pour avoir la
masse du tube, et bien sûr, dans ce tube-là, toutes les masses
sont à la même distance, la distance c'est r carré.
Eh bien ce terme-là, c'est ce que j'ai ici.
Donc on pourrait comprendre ce résultat intermédiaire comme
le calcul de i delta, en tant que somme sur des tubes.
Bon ici j'ai une intégrale définie de r cube,
que je peux calculer, ça me donne un r 4, avec les
coefficients et un r 4 sur 4, le 4 et le 2 se simplifient pour donner une demie, le
rau et le pi restent, rau, je mets
maintenant cette valeur de rau dans cette formule,
j'obtiens une demie de m r carré, ça c'est un résultat qu'il est utile de mémoriser,
pour un cylindre plein, ou pour un disque,
le moment d'inertie par rapport à l'axe symétrie du disque, donc c'est ça,
notre axe delta, vaut une demie de m r carré.
Maintenant, je passe à la formule de Steiner qui
est très utile quand on doit calculer des moments d'inertie.
Vous imaginez
la situation suivante : vous avez un solide qui tourne autour
d'un axe delta prime, passant par le point a, et cet axe
delta prime ne contient pas le centre de masse du solide g.
On se pose la question de savoir, quelle est la
relation entre le moment d'inertie du solide par rapport à l'axe
delta prime, lorsqu'on connaît le moment
d'inertie du solide par rapport à un axe delta
parallèle à delta prime, passant par le centre de masse.
Pour faire ce calcul, je commence par l'expression du moment cinétique en a.
Alors on a appris qu'on devait calculer le moment cinétique
en g plus un terme qu'on aurait si toute la masse m était centrée au
centre de masse g. Et maintenant je vais projeter
ce vecteur l a. Je projette en définissant u,
vecteur porté par l'axe de rotation,
je sais que la projection du moment cinétique doit donner un moment
d'inertie fois le oméga, ça c'est un résultat qu'on a déjà établi, Quand je
fais la projection de l a, g, ce terme-là et puis la projection de l g.
V de g, je peux l'exprimer avec la cinématique du solide indéformable,
comme a g, comme oméga crosse a g.
A appartenant
au référentiel, je n'ai que le terme oméga crosse a g.
Et maintenant, je développe ce terme-là, avec la formule qui me dit
a crosse b, crosse c, égale a c b moins a, b, avec les parenthèses au bon endroit.
Ça me donne cette formule-là. Vous avez a g, a g oméga, c'est ce
terme-là, a g oméga a g, c'est ce terme-là.
Et maintenant on doit projeter avec u.
Alors u, produit scalaire avec oméga, ça nous donne oméga.
Et puis ici, cette gymnastique qu'on a déjà faite, on multiplie ici par u,
le oméga, je peux le remplacer par oméga scalaire
fois le u, j'ai donc, a g u au carré, ce
terme-là. Et là, on a le module au
carré de a g, moins la projection de a g, sur l'axe.
Et ça, on en a l'habitude, c'est la distance entre ces 2 axes, au carré.
Je résume. Bien sûr ici, l g fois
u, c'est i g, fois u, i g étant le moment
d'inertie du solide, par rapport à l'axe delta passant par g, i g.
Je résume : le moment d'inertie que je cherche,
c'est le moment d'inertie en g, donc pour l'axe
delta qui passe par g, plus, ce que j'aurais si toute la
masse du solide était centrée au centre de masse, Avec le d g, qui
est donc cet écart, ici.
