[MUSIQUE] Bonjour. Au cours de cette séance d'exercices, nous allons manipuler un concept nouveau associé à la description d'une particule sous la forme ondulatoire : le concept de courant de probabilité qui en mécanique quantique décrit le flux de densité de probabilité. Considérons ainsi une région de l'espace. La densité de probabilité de présence de la particule dans cette région s'écrit rhô est égal à la norme de psi au carré. La probabilité de présence de la particule est alors l'intégrale sur la région de la densité de probabilité de présence, p est égal à l'intégrale de la norme de psi au carré d tau. Si cette quantité évolue au cours du temps, il doit y avoir une quantité associée à la densité de probabilité entrant ou sortant du volume. Par analogie avec la mécanique des fluides ou à la diffusion de la chaleur, on appelle cette quantité un courant de probabilité que l'on note j. La variation au cours du temps de la probabilité de présence dans le volume sera reliée au flux de ce courant à travers la surface. Nous obtiendrons ainsi une équation traduisant la conservation de la probabilité totale, c'est-à-dire une équation de conservation de la matière, la norme de la fonction d'onde étant en quelque sorte une mesure du nombre de particules. Cette loi de conservation aussi appelée équation de continuité aura une forme très analogue à celle décrivant la conservation de la charge en électromagnétisme, celle décrivant la conservation de la matière en mécanique des fluides ou encore celle décrivant la conservation de l'énergie interne en thermodynamique. En mécanique quantique, le courant de probabilité associé à une fonction d'onde psi s'exprime sous la forme j est égal à h barre sur 2 i m fois psi étoile gradient de psi moins psi fois le gradient de psi étoile. Nous allons tout d'abord montrer qu'il peut aussi s'exprimer sous une forme plus compréhensible, à savoir j est égal à la partie réelle de psi étoile fois p sur m fois psi. Démontrons cela. On reprend l'expression du courant j précédente. L'idée est de remplacer l'opérateur gradient par l'impulsion, sachant que l'impulsion p s'écrit sous forme d'opérateur, p est égal à h barre sur i fois le gradient. Il vient alors j est égal à 1 sur 2 m fois psi étoile p psi plus le conjugué de psi étoile p psi. On obtient pour finir partie réelle de psi étoile p sur m fois psi. On reconnait dans le terme p sur m la vitesse de la particule. Le terme psi étoile psi fait quant à lui apparaître la densité de probabilité de présence. L'expression ainsi obtenue peut se lire comme la vitesse pondérée par la probabilité de présence, ce qui peut s'interpréter comme une sorte de vitesse locale. De façon très générale, les équations de continuité peuvent s'écrire sous la forme d rond Q sur d rond t plus divergence de j est égal à 0, où Q est la quantité conservée et j le courant associé. Ainsi en électromagnétisme, Q est la charge électrique et j la densité volumique de courant. En thermodynamique, Q est par exemple l'énergie interne et j le flux de chaleur. Calculons donc la divergence du courant de probabilité. Pour cela, nous avons tout d'abord besoin de la formule de la divergence qui donne : divergence de a fois le vecteur v est égale au gradient de a fois le vecteur v plus a fois la divergence de v. Appliquons cette formule à la divergence de j. Nous obtenons après simplification de deux termes en produits de gradients l'expression divergence de j est égale à h barre sur 2 i m fois psi étoile laplacien de psi moins psi fois le laplacien de psi étoile. Il reste à établir le lien avec la densité de probabilité de présence, ou plutôt son évolution temporelle d rhô sur dt. Ce dernier calcul se fait assez simplement. On commence par écrire l'expression de la densité de probabilité, psi étoile psi. On dérive ensuite le double produit pour obtenir d psi étoile sur dt fois psi plus psi étoile fois d psi sur dt. Il faut ensuite insérer l'équation de Schrödinger et sa version conjuguée sans avoir besoin de supposer un potentiel nul. Les termes contenant le potentiel v psi étoile psi s'annulent deux à deux, et on obtient finalement d rond rhô sur d rond t est égal à i h barre sur 2 m fois psi étoile laplacien de psi moins psi fois le laplacien de psi étoile. Une fois les différents termes regroupés, on retrouve l'expression au signe près de la divergence de j, soit au final l'équation de continuité d rond rhô sur d rond t plus divergence de j est égal à 0. Cette équation traduit localement la conservation de la probabilité, et donc de la matière. Elle est en tout point similaire aux équations de continuité obtenues en électromagnétisme, mécanique des fluides ou diffusion thermique, et relie la densité de probabilité de présence au courant de probabilité. Elle justifie également l'appellation courant de probabilité que nous avons utilisée. Considérons maintenant une onde plane monochromatique de vecteur d'onde k. La fonction d'onde s'écrit psi de r et de t est égal à psi0 exponentielle de i k r moins oméga t. Cette fonction d'onde correspond à une densité de probabilité uniforme rhô est égal à norme de psi au carré, est égal à la norme de psi0 au carré. Le calcul du courant de probabilité se fait alors très simplement. On reprend l'expression j égal partie réelle de psi étoile h barre sur i m fois le gradient de psi. Le gradient de la fonction fait simplement apparaître le vecteur d'onde k. Le produit psi étoile psi est alors uniforme et vaut norme psi0 au carré. Le vecteur d'onde k étant réel, il peut sortir de la partie réelle. On obtient pour finir h barre k sur m fois la norme de psi0 au carré. Le courant de probabilité est donc constant, et dirigé dans la direction du vecteur d'onde. Une onde plane correspond ainsi à un flux de probabilité ou de particules uniforme et constant. De la même manière, une onde plane électromagnétique correspond à un vecteur de Poynting ou à un flux d'énergie électromagnétique uniforme et constant. On considère maintenant la superposition de deux ondes de vecteurs d'onde égaux et opposés. Cela correspond à la superposition d'une onde progressive et d'une onde régressive de même pulsation, psi de r et de t est égal à psi1 exponentielle de i k r moins oméga t plus psi2 exponentielle de moins i k r moins oméga t. Le calcul du courant de probabilité se fait exactement de la même manière. Le gradient de psi fait apparaître le vecteur d'onde avec un signe différent pour psi1 et pour psi2. On retrouve alors la différence de deux courants de probabilité plus la partie réelle de termes croisés. Dans le cas où les deux ondes ont la même pulsation, et donc le même vecteur d'onde en norme, ces termes croisés sont conjugués l'un de l'autre, et la partie réelle est nulle. Au final, on trouve h barre k sur m fois la norme de psi1 0 au carré moins la norme de psi2 0 au carré. Ainsi dans ce cas, le courant de probabilité associé à la superposition de deux ondes de vecteurs d'onde égaux et opposés est la somme des deux courants. Il faut néanmoins noter que ce résultat n'est pas général. Si les deux ondes ont des pulsations différentes, des battements apparaissent et les termes croisés ne se simplifient plus. La vidéo ci-contre vous montre le comportement du courant de probabilité pour un paquet d'onde gaussien. Lorsque le paquet d'onde est en mouvement, on observe que le courant de probabilité est positif, car le déplacement se fait vers la droite, et suit le mouvement du paquet d'onde. Il est affecté du même élargissement que le paquet d'onde. Cette nouvelle vidéo vous montre maintenant le comportement du courant de probabilité pour deux paquets d'onde évoluant dans des directions opposées. Le courant de probabilité associé au paquet de gauche est positif, indiquant un déplacement vers la droite. Celui associé au paquet de droite est négatif, indiquant un déplacement vers la gauche. Regardons maintenant ce qui se passe lorsque l'on met les paquets d'onde en mouvement. Tant que les paquets d'onde sont loin l'un de l'autre, le courant est la somme des courants associés à chacun des deux paquets. Mais dès que les paquets commencent à s'approcher, ils interfèrent entre eux, et la forme du courant présente des oscillations caractéristiques. Une fois que les paquets se sont séparés, on retrouve la somme des deux courants. Au cours de cette séance, nous avons donc introduit un nouvel outil, le courant de probabilité qui permet d'écrire une équation de continuité traduisant la conservation de la probabilité et donc de la matière. Cet outil nous sera particulièrement utile lorsque nous étudierons la réflexion d'un paquet d'onde sur une marche de potentiel ou sur une barrière. Cette séance est maintenant terminée. Merci de l'avoir suivie, et à bientôt. [MUSIQUE] [MUSIQUE] [MUSIQUE] [MUSIQUE]
