Ces quelques leçons de mécanique de Newton font partie d'un cours de formation de base en mécanique Newtonienne présenté sous la forme d'un MOOC en quatre parties : 1. Lois de Newton À l’École Polytechnique Fédérale de Lausanne, un cours de mécanique fait partie de la formation de tous les futurs ingénieurs et scientifiques. Il a pour but de leur apprendre à transcrire sous forme mathématique un phénomène physique, afin de pouvoir en formuler une analyse raisonnée. Cette partie couvrira notamment la cinématique du point matériel, la balistique dans le champ de la pesanteur et l’oscillateur harmonique. 2. Mécanique du point matériel https://www.coursera.org/learn/mecanique-point-materiel 3. Mécanique du Solide Indéformable https://www.coursera.org/learn/mecanique-solide 4. Mécanique Lagrangienne https://www.coursera.org/learn/mecanique-lagrangienne
6.2 Mouvement circulaire et vitesse angulaire
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Mécanique de Newton
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Из урока
Accélération normale et tangentielle. Mouvement circulaire, vitesse angulaire.
Vous allez vous familiariser avec la nature vectoriel de la vitesse et de l'accélération.
Познакомьтесь с преподавателями
Jean-Philippe AnsermetProfesseur
Institut de Physique de la Matière Condensée, École Polytechnique Fédérale de Lausanne, Suisse
Hallo, wilkommen
zur Vorlesung für "allgemeine Physik" der EPFL. In dieser Lektion werde ich
versuchen das Konzept der vektoriellen Beschleunigung zu erklären.
Wir haben grundsätzlich gesehen, dass die vektorielle Beschleunigung eine
Normalkomponente gegenüber der Trajektorie hatte. Diese wurde
mit Hilfe der Geschwindigkeit und des Krümmungsradiuses an diesem Ort.
Um dies klar zu machen schlage ich ihnen
jetzt vor eine Kreisbewegung anzuschauen.
Wir werden dafür eine gleichmässige Kreisbewegung beobachten.
Dies heisst, dass die Skalargeschwindikeit konstant bleiben wird.
Dieses Beispiel werde ich nutzen um eine neue
physikalische Grösse zu definieren : die skalare Winkelgeschwindigkeit.
Ich sage "skalare" weil wir später auch vektorielle Winkelgeschwindigkeiten
sehen werden, und ich werde von diesen kinematischen
Ergebnisse benutzen um Ihnen eine spezielle Eigenschaft
der zeitlichen Entwicklung eines Vektors, dessen Norm konstant ist, zu zeigen.
Ich betrachte nun
einen Massepunkt, der gezwungen wird, sich auf einem
Kreis zu bewegen, dies mit einer gleichmässigen Skalargeschwindigkeit.
Okay, hier ist unser Kreis, der zum Bezugssystem
gehört. Ich definiere jetzt mein Koordinatensystem, mit o hier
das Zentrum des Kreises. Meine Achsen
nenne ich x, y; und da
ist mein Massepunkt p. Ich
beschreibe ihn einerseits mit
dem Winkel Phi hier und anderseits mit der Bogenlänge
und behaupte dafür, dass ich eine Bogen- länge von 0 auf der x-Achse habe.
Was ich zuerst machen kann, ist zu schreiben, dass ich eine
konstante Skalargeschwindigkeit habe. Die werde ich als
eine Funktion der Bogenlänge ausdrücken.
Ist r der Radius
des Kreises, gilt s r mal
phi. Die Skalargeschwindigkeit gleicht
ds über dt. Dies entspricht r mal phi-punkt.
In unserer Situation ist v eine Konstante. Also muss phi-punkt eine Konstante sein.
Ich nenne diese Konstante Omega.
Ich habe also den Winkel phi gleich Omega t.
Man nennt diesen Omega "Winkelgeschwindigkeit".
Ich komme zum Kreis und zu meinem Koordinatensystem zurück
und kann also die Position vom Punkt p mit diesem Winkel
der Omega t gilt beschreiben. Ich könnte auch die kartesischen
Komponenten von p berechnen, welche von Omega t
abhängen. Hier sind die Projektionen
auf die Achse x, auf die Achse y des
Vektors op. Ich habe hier einen Vektor
op der normalerweise r genennt wird. Dieser hat Projektionen auf die Achse
x und auf die Achse y von r cos Omega t, r sin Omega t.
Ich leite nach der Zeit ab um die kartesischen
Komponenten der Geschwindigkeit zu kriegen.
Hier ist x-punkt und hier y-punkt, Ableitung vom cos minus sin,
Ableitung vom sin: cos. Wir haben hier Funktionen von Funktionen, also kommt
einen Omega heraus. Ich stelle nun fest, dass
diese beide Vektoren orthogonal sind, weil wenn ich das Skalarprodukt
berechne, kriege ich x x-punkt plus y y-punkt, das uns 0 gibt.
Ich meine also, dass r
Skalarprodukt mit v 0 ist.
Ich meine also, dass
wenn man die kartesischen Komponenten des Massepunktes betrachtet,
also vom Radiusvektor, hier, und der
Geschwindigkeit, stellt man fest, dass sie orthogonal sind.
Tatsächlich, die Geschwindigkeit ist tangential zum Kreis, und
deswegen orthogonal zum Radius, hier. Wir haben einen
rechten Winkel. Man sieht auch
dass die Geschwindigkeit, die Norm der
Geschwindigkeit, oder dessen Quadrat, gibt uns r Quadrat,
Omega Quadrat, mal sin Quadrat Omega t plus cos Quadrat Omega
t. Dies ist 1. Hier steht also die Lösung für die Geschwindigkeit, die
r Omega gilt. Dies habe ich mit Rot geschrieben, weil man es wirklich
viel brauchen werden. Ich empehle also Ihnen, es auswendig zu lernen.
Ich komme nun zur Beschleunigung.
Ich werde diese mit den kartesischen Koordinaten
berechnen. Hier sind die Koordinaten des Punktes. Hier ist
die erste Ableitung, hier die zweite.
Was sehe ich nun? Dass ich hier r cos
Omega t und r sin Omega t habe, die ich
wieder da sehe. Also charakterisieren x doppelpunkt y doppelpunkt einen
Vektor, der kolinear mit dem Vektor mit Komponenten
x y ist. Wie sieht dies auf einer Zeichnung aus?
Hier ist mein Kreis, der Massepunkt ist
hier und ich sage, dass die Beschleunigung in derselben
Richtung wie mein Radiusvektor liegt, aber
da steht r Omega Quadrat minus r Omega Quadrat vor ihm, also zeigt
der Beschleunigungsvektor gegen das Zentrum des Kreises.
Sollte Omega Zeichen wechseln, wenn stadt in diese Richtung dreht, in die
Gegenrichtung drehen würde, würde dies nichts ändern. Wir hätten
immer eine Beschleunigung die gegen das Zentrum zeigen würde.
Deswegen nennt man sie
zentripetale Beschleunigung
Welchen Wert
hat die Norm der Beschleunigung? Deren Quadrat
gilt r Quadrat Omega hoch 4 mal
cos Quadrat plus sin Quadrat, gibt
uns 1. Wir haben also die Norm gleich r Omega Quadrat.
Dies schreibe ich erneut mit Rot, und Sie sollten diese auch auswendig
lernen.
Ich profitiere von diesen kinematischen Ergebnissen, um folgendes fest
zu stellen : für jeden Vektor, dessen Norm konstant bleibt, haben wir die
folgende Eigenschaft: das Skalarprodukt von v mit sich selbst,
ist das Quadrat der Norm, und wenn diese eine Konstante ist, ist dises Ableitung
null. Ich kann dies so ausdrücken :
2v Skalaprodukt mit dv über dt ist null.
Diese Gleichung zeigt uns, dass dv
über dt othogonal zu v ist. Für jeden Vektor mit einer
konstanten Norm, ist seine zeitliche Ableitung othogonal
zum Vektor. Erstes Ergebnis, schauen wir mal
wie es auf der Zeichnung aussieht wenn man den Fall betrachtet in dem v
für eine Geschwindigkeit einer Kreisbewegung.
Hier zeichne ich den Massepunkt p zur Zeit t.
Hier ist seine Lage zur Zeit t plus dt. Der Radius
hat sich um einem Winkel Omega
dt gedreht, also
weil man hier einen rechten Winkel hat,
gilt dasselbe hier. Wenn sich die beiden Radiusvektoren um
einen Winkel Omega dt gedreht haben hat sich die Geschwindigkeit auch so
gedreht. Dies kann ich so
zeichnen : ich schiebe die Geschwindigkeits- vektoren nach p.
Hier haben Sie v von t, der dort war, v von t plus dt nehme
ich hier. Wir haben festgestellt, dass
sich der Omega dt, den man hier
hatte, hier befindet. Also gilt
die Norm von a dt dasselbe wie diese
Seite, die v ist. Das heisst, die Norm von v mal
diesen Winkel, der Omega mal
dt war. Dies steht hier. Einfach gesagt, haben wir
also die Norm von a die v mal Omega gilt. a ist die Ableitung von diesem
Vektor. Zur Erinnerung: wir betrachten irgendeinen Vektor dessen
Norm konstant ist Die Norm vom Vektor, der
abgeleitet wurde, gilt v mal Omega. Dieser
zeigt uns um wieviel sich den Vektor dreht, bzw die Winkelgeschwindigkeit vom Radius-
vektor oder von diesem da. Ist egal, beide dreen mit derselben
Geschwindigkeit Omega. Ich komme also zum folgenden
Ergebnis: für jeden Vektor v mit einer
konstanten Norm, ist seine Ableitung dv über dt othogonal
zum Vektor v und die Norm vom Vektor dv über dt gilt die Norm von
v mal die Winkelgeschwindigkeit.
Dieses Ergebnis werden wir mehrmals brauchen.
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