Ces quelques leçons de mécanique de Newton font partie d'un cours de formation de base en mécanique Newtonienne présenté sous la forme d'un MOOC en quatre parties : 1. Lois de Newton À l’École Polytechnique Fédérale de Lausanne, un cours de mécanique fait partie de la formation de tous les futurs ingénieurs et scientifiques. Il a pour but de leur apprendre à transcrire sous forme mathématique un phénomène physique, afin de pouvoir en formuler une analyse raisonnée. Cette partie couvrira notamment la cinématique du point matériel, la balistique dans le champ de la pesanteur et l’oscillateur harmonique. 2. Mécanique du point matériel https://www.coursera.org/learn/mecanique-point-materiel 3. Mécanique du Solide Indéformable https://www.coursera.org/learn/mecanique-solide 4. Mécanique Lagrangienne https://www.coursera.org/learn/mecanique-lagrangienne
6.2 Mouvement circulaire et vitesse angulaire
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Mécanique de Newton
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Accélération normale et tangentielle. Mouvement circulaire, vitesse angulaire.
Vous allez vous familiariser avec la nature vectoriel de la vitesse et de l'accélération.
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Jean-Philippe AnsermetProfesseur
Institut de Physique de la Matière Condensée, École Polytechnique Fédérale de Lausanne, Suisse
Bonjour, bienvenue
au cours de physique générale de l'EPFL. Dans cette leçon je
cherche à clarifier la notion d'accélération vectorielle.
D'une manière générale on a vu que l'accélération vectorielle avait
une composante normale à la trajectoire, qui était
donnée par la vitesse et le rayon de courbure de la trajectoire à cet endroit.
Pour clarifier cette notion je vous
propose maintenant de regarder un mouvement circulaire.
Alors on va regarder un mouvement circulaire uniforme,
ça veut dire que la vitesse scalaire sera constante.
Ce mouvement-là va me permettre d'introduire une nouvelle
grandeur physique, la vitesse angulaire scalaire.
Le fait que je dise scalaire suggère que plus tard on va introduire une vitesse
angulaire vectorielle, et je vais profiter de ces résultats
de cinématique pour vous montrer une propriété
particulière de l'évolution dans le temps d'un vecteur dont la norme est constante.
Alors, je considère maintenant
un point matériel astreint à se déplacer sur un
cercle avec une vitesse scalaire uniforme.
Voilà, donnons-nous un cercle, qui appartient au
référentiel, je me donne un système d'axe, voilà o le
centre du cercle, mon cercle, je me donne
un système d'axes o, x, y; voilà mon
point matériel ici; donc p, et je
repère le point matériel, d'une part avec
l'angle phi ici, et d'autre part avec l'abscisse curviligne
en supposant que j'ai un 0 de l'abscisse curviligne sur l'axe des x.
Alors, la première chose que je peux faire c'est exprimer le fait que j'ai une
vitesse scalaire constante et je vais exprimer
la vitesse scalaire en terme de l'abscisse curviligne.
Si r est le rayon
du cercle, s vaut r fois
phi. La vitesse scalaire vaut
ds sur dt. Ca fait r fois phi point.
V, d'après la donnée, v est une constante, donc phi point est une constante.
Je vais écrire cette constante Oméga.
j'ai donc, l'angle phi qui vaut oméga t. Donc le phi ici vaut oméga t.
Alors, on appelle vitesse angulaire ce oméga.
Si je reprend mon cercle, mon système d'axe de coordonnées,
je peux maintenant repérer la position du point p par cet angle-là
qui vaut oméga t. Je peux aussi calculer les coordonnées
cartésiennes de p, exprimées en termes de oméga
t. Voilà les projections
sur l'axe des x, l'axe des y du vecteur
op. Je peux avoir ici un vecteur
op que j'appelle d'habitude r, ce vecteur-là a les projections sur l'axe
des x et sur l'axe des y, x et y r cos ohm égal t, r sin ohm égal t.
Je dérive par rapport au temps pour obtenir
la vitesse, les composantes cartésiennes de la vitesse.
Voilà x point, voilà y point, dérivée du cosinus moins sinus,
dérivée du sinus, cosinus, on a des fonctions de fonctions, donc on a le oméga
qui apparaît. Je constate que
ces deux vecteurs sont perpendiculaires, parce que si je fais le produit scalaire
j'ai x, x point, plus y, y point, vous avez 0.
Donc je suis entrain de dire que r,
produit scalaire avec v, égal 0.
Donc je suis en train de dire
qu'en considérant les composantes cartésiennes du point
matériel, du rayon vecteur, ici, et de
la vitesse, j'ai trouvé qu'ils étaient perpendiculaires.
En effet, la vitesse est tangente au cercle, elle
est donc perpendiculaire au rayon, ici, nous avons un
angle droit. De plus, on
constate que la vitesse, la norme de la
vitesse, ou la norme au carré de la vitesse, ça va donner r carré,
oméga carré, fois sin carré oméga t, plus cos carré oméga
t, ça ça vaut 1; donc voilà la solution pour la vitesse, la vitesse vaut
r oméga, j'ai écrit cette formule en rouge, parce que elle est extrêmement
utile, on va souvent l'utiliser et je vous recommande de l'apprendre par coeur.
Je passe maintenant à l'accélération.
Alors, je vais calculer l'accélération en utilisant les coordonnées
cartésiennes du point: voilà les coordonnées du point, voilà la
première dérivée, voilà la deuxième dérivée.
Qu'est-ce que j'observe? C'est que ici j'ai un r cos
oméga t et r sin oméga t, je retrouve ces
valeurs ici, donc x point point, y point point forment un
vecteur qui est colinéaire avec le vecteur de composante
x et y. Qu'est-ce que ça donne sur un dessin?
Voilà mon dessin du cercle, le point matériel est
ici, et je suis entrain de dire que l'accélération est dans
le sens du rayon vecteur, mais il y a un
r oméga carré, moins r oméga carré devant, donc, le vecteur,
il est, le vecteur accélération est dirigé vers le centre du cercle.
Si oméga change de signe, si au lieu de tourner dans ce sens-là, on tournait dans
ce sens-là ça ne changerait rien, on aurait
toujours l'accélération dirigée vers le centre du cercle.
Et pour cette raison-là, on
appelle cette accélération-là une accélération centripète.
Que vaut
le module de l'accélération? Le module du vecteur accélération
au carré vaut r carré oméga à la puissance 4 fois
cos carré plus sin carré, ça fait
1; donc on a le module de l'accélération qui vaut r oméga carré.
J'écris la formule en rouge, c'est aussi une formule qu'il serait bon d'apprendre
par coeur.
Je profite de ces considérations cinématiques pour faire l'observation
suivante: pour tout vecteur, pour tout vecteur de norme constante, on a la
propriété suivante; le produit scalaire de v avec lui-même,
c'est la norme au carré et si la norme est constante, cette dérivée
est nulle. Je peux écrire cette dérivée de la manière
suivante: 2v produit scalaire dv sur dt, ceci est nul.
Cette équation-là nous dit que dv
sur dt est perpendiculaire à v, pour tout vecteur de
norme constante, sa dérivée par rapport au temps est perpendiculaire
au vecteur. Premier résultat, regardons de quoi ça à
l'air sur le dessin quand on considère le cas particulier où v représente
la vitesse ou le mouvement circulaire uniforme.
Ici je représente le point matériel p en t, voilà
sa position au point t plus dt, le rayon
vecteur a tourné d'un angle
oméga dt, donc
comme ici on a un angle droit, ici on a
aussi un angle droit, si les rayons vecteurs tournent d'un
angle oméga dt, alors la vitesse a aussi tourné d'un
angle oméga dt. Je peux représenter
ceci en rapportant les vecteurs vitesse en p de la manière suivante:
vous avez ici le v de t, qui était là, v de t plus dt je le
reprends ici, on vient de se convaincre
que le oméga dt qu'on avait ici,
on l'a retrouvé là; par conséquent
la norme de a dt vaut ce coté-là
qui est v, c'est à dire la norme de v fois
l'angle qu'on a ici, qui était oméga fois
dt, ce que j'ai indiqué ici. Pour simplifier on a
donc la norme de a qui vaut v fois oméga. A c'est la dérivée de ce
vecteur, alors je vous rappelle on est en train de considérer n'importe quel vecteur
de norme constante, la norme du vecteur
dérivé vaut v fois le oméga, le oméga qui
nous indique de combien le vecteur tourne, la vitesse angulaire du vecteur, du rayon
vecteur, ou de ce vecteur-là c'est égal, les deux tournent à la
vitesse angulaire oméga. J'arrive au résultat
suivant: pour tout vecteur v de norme
constante sa dérivée dv sur dt est perpendiculaire
au vecteur v et sa norme, la norme du vecteur dv sur dt vaut la norme du
vecteur, fois la vitesse angulaire.
Voilà un résultat qu'on aura l'occasion d'utiliser.
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