Ces quelques leçons de mécanique de Newton font partie d'un cours de formation de base en mécanique Newtonienne présenté sous la forme d'un MOOC en quatre parties : 1. Lois de Newton À l’École Polytechnique Fédérale de Lausanne, un cours de mécanique fait partie de la formation de tous les futurs ingénieurs et scientifiques. Il a pour but de leur apprendre à transcrire sous forme mathématique un phénomène physique, afin de pouvoir en formuler une analyse raisonnée. Cette partie couvrira notamment la cinématique du point matériel, la balistique dans le champ de la pesanteur et l’oscillateur harmonique. 2. Mécanique du point matériel https://www.coursera.org/learn/mecanique-point-materiel 3. Mécanique du Solide Indéformable https://www.coursera.org/learn/mecanique-solide 4. Mécanique Lagrangienne https://www.coursera.org/learn/mecanique-lagrangienne
3.2 Balistique sans frottement
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Mécanique de Newton
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Les lois de Newton. Balistique.
Vous allez découvrir dans ce module les deux premières lois de Newton. Ceci vous permettra d'analyser le mouvement d'un point matériel dans le champ de la pesanteur (balistique).
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Jean-Philippe AnsermetProfesseur
Institut de Physique de la Matière Condensée, École Polytechnique Fédérale de Lausanne, Suisse
Hallo und wilkommen zur Vorlesung "Allgemeine Physik" der EPFL.
In dieser Lektion haben wir gerade die Newtonsche Gesetze
für ein Massepunkt präsentiert, unter anderen das Gesetz F gleich ma.
Nun möchte ich diesen Formalismus sofort anwenden
um ein sehr einfaches Problem zu lösen. Es handelt sich um Ballistik
in einem Schwerkraftfeld und wir werden von Anfang an eine systematische
Vorgehensweise benutzen die man bei allen Problemen der Mechanik anwenden kann.
Zuerst, modelliere ich die Kraft die uns beschäftigt.
Dann wähle ich ein Koordinatensystem.
Mit diesem Koordinatensystem werde ich die Kinematik
beschreiben, bzw. die vektorielle Geschwindigkeit und die Beschleunigung.
Dann werde ich das Gesetz "F gleich ma" einsetzen
und damit die Differentialgleichungen schreiben, die ich dann integriren muss.
Ich beginne mit dem Modell der Kraft.
Mit unserem Dynamometer können wir
Kräfte messen. Dabei hat man beobachtet,
dass auf der Erde eine Kraft wirkt, die ziemlich genau
immer dieselbe Richtung hat und die dazu
zur Masse proportional ist. Diese Richtung
werde wir als senkrecht bezeichnen und der
Proportionalitätskoeffizient nennen wir g. Dieser charakterisiert die Kraft.
Ich kann ein phänomenologisches Gesetz schreiben um meine
Beobachtungen zu beschreiben. Dies heisst, eine Gesetz das analytisch simpel ist.
Ich schreibe F gleich mg. Die Kraft gleich mg, wo g
ein Vektor ist, mit einer Norm die den Wert des
Koeffizientes hat. Der Vektor ist senkrecht und zeigt nach unten.
Und hier ist ein ungefährer Wert von g.
Nun komme ich zur ersten Beschreibung der
Dynamik. Ich werde hier noch keine
Projektionen benutzen. Wir werden dies später sehen, denn
normalerweise arbeitet man mit diesen Projektionen.
Auf dieser Seite
haben wir eine vektorielle Beschleunigung welche meine
kinematische Grösse ist. Anderseits haben wir
das dynamische Gesetz das ausdrückt, dass "Kraft gleich Masse mal Beschleunigung" ist.
Ich habe gerade festgestellt, dass unter bestimmten
Bedingungen die Kraft ein Wert von Masse mal
diesen Vektor g ist. Also komme ich zu dieser
Gleichung: a gleich g. Ich habe diese Gleichung
besonders gerne weil sie als Symbol
einer wiederkehrenden Schwierigkeit in der Physik dienen könnte.
In der Physik, stehen eingesetzte Symbole für Grössen die
in der experimentalen Welt existieren. Und hier ist
a gleich g nicht eine triviale Gleichung und ich werde
alles tun um die erdische Beschleunigung nicht "g" zu nennen,
denn dies würde nur zur Verwirrung führen.
Was Sie sehen müssen wenn Sie "a gleich g" lesen, ist,
dass einerseits ein Kraftmodell und anderseits
das newtonsche dynamische Gesetz welches lautet
"Kraft gleich Masse mal Beschleunigung" dahinter stecken.
Beide stehen hinter diese Gleichung "a gleich g" welche keine Identifizierung ist.
Schauen wir jetzt an, wie man mithilfe von Projektionen
ein physikalisches System analysiert. Ich gehe davon also aus,
dass ich ein Bezugssystem definiert habe, das durch
ein kartesisches Koordinatensystem verkörpert wird. Ich wähle
die z-Achse senkrecht und nach oben zu
definieren. Meine mg-Kraft zeigt also in der z-Richtung
nach unten. Wenn ich ein kartesisches Koordinatensystem
benutze das Teil des Bezugssystems
ist, ist meine Beschleunigung, meine Kinematik,
sehr einfach auszudrücken. Dafür
nimmt man die zweite zeitliche Ableitung
von den drei Koordinaten. Also sehen meine Bewegungsgleichungen
die ich mit Hilfe des Gesetzes f gleich ma finde, so aus : man
sieht m mal die Beschleunigung in der x- Richtung die null ist, gleich die
Kraft in dieser Richtung welche null ist weil g in der z-Richtung ist.
Also ist die Kraft in der Richtung x null, sowie für y. In der Richtung z
haben wir minus mg. Wenn man mit
Projketionen arbeiten will kann man ein Vektor
Zirkumflex-z definieren in derselben Richtung wie die Achse.
z mal g ist also ein Skalarprodukt z mal g welcher
den Kosinus des Winkels zwischen den beiden Richtungen mitbringt.
Dieser Winkel hat ein Wert von Pi. Der Kosinus ist also minus 1.
Dieses minus 1 sehen wir hier.
Okay, nun habe mich meine Bewegungsgleichungen,
meine diferentielle Gleichungen die die Bewegung meiner Masse im Schwerkraft
Feld beschreiben. Wir probieren jetzt sie zu interieren.
Wir haben es bei der geradelinigen,
gleichförmigen Bewegung schon gesehen: in der
Integration werden wir Konstanten finden.
Diese werden normalerweise mit Hilfe von Anfangsbedingungen berechnet.
Schreiben wir zuerst mal diese Anfangsbedingungen.
Ich behaupte, dass wenn t null ist, mein Massepunkt irgendwo
in meinem Koordinatensystem liegt und seine
initiale Geschwindigkit ist bekannt und hat irgendeinen Wert.
Ich sage also, dass
x y z, wenn t 0 ist, diese Werte haben.
Die nenne ich x(0), y(0), z(0). Dasselbe gilt für
die Geschwindigkeit in den Richtungen x y z,
mit t 0, sind v0x, v0y, v0z.
Achten Sie gut auf die Notation: es sind hier zwei Indizien.
Hier sind die
Bewegungsgleichungen. Ich schreibe sie wieder hier. Schauen wir
sie eine nach der anderen. Diese
bedeutet, dass die zeite Ableitung meiner
Funktion null ist. Also muss die erste Ableitung eine Konstante sein.
Welchen Wert hat sie? Diese Konstante muss den Wert
der initialen Geschwindigkeit haben (v0x). Ich
integriere nochmals. Hier kann ich mir
keine Ungenauigkeit erlauben und muss deshalb
die Indizien ganz klar anzeigen: v 0 x.
Ich integriere also. Jetzt habe ich x Funktion von t,
also der Zeit die v0x mal die Zeit
plus eine Konstante ist. Diese nenne ich d. Wir wissen auch
dass wenn t 0 ist, ist x x0. Also haben wir x 0
gleich d. Am Ende haben wir x gleich v0x mal t
plus x 0.
In der Richtung
y ist die Arbeit genau dieselbe. In der Richtung z
ist die Lage etwas anders. Da haben wir z
Doppelpunkt gleich minus g.
Ich integriere einmal: z Punkt gleich
minus g t plus eine Konstante.
Diese nenne ich C. Was wissen wir über z Punkt?
Dass es den Wert von C hat wenn t 0 ist.
Aber z-Punkt hat schon einen Wert von v 0 z. Ich habe also z-Punkt
gleich minus g t plus v0z.
Ich integriere nochmals : z gleich minus eins über zwei g t
Quadrat. Tatsächlich, wenn ich z zeitlich ableite kriege ich minus g t.
Dies sieht man hier. Dazu kommt noch v0z t plus eine Konstante.
Wenn t null ist haben wir z 0. Wir haben
zuvor gesagt, dass dies z 0 ist. Wenn ich t gleich null in dieser Gleichung einsetze
bleibt mir nur noch das d. Am Ende
habe ich z gleich minus eins über zwei g t Quadrat,
plus v0z t plus z 0.
Okay, ich kann jetzt das ganze löschen.
Und schreibe alle Lösungen erneut. So.
Mit v0x v0y v0z die die
Geschwindigkeit wenn t
0 ist sind; x0 y0 z0 die Position
wenn t 0 ist.
Ich könnte mir nun die Frage stellen : wie sieht die Trajektorie aus ?
Um diese zu berechnen antizipiere ich die Kalkulationen.
Sollte ich diese machen würde ich merken, dass
man die Notation ein bisschen vereinfachen kann.
Ich definiere erneut mein Koordinatensystem. Warum mache ich das?
Um Ihnen klar zu zeigen, dass
Sie dies wirklich wählen können.
Sie bestimmen welches Koordinatensystem gebraucht wird.
Achten Sie jetzt wie ich diese Notationen vereinfache. Zuerst sage ich, dass
wenn t 0 ist, meinen massepunkt beim Nullpunkt liegt. Wenn t 0 ist
ist dieser beim Koordinatenursprung. Dann wähle ich meine
Achsen. Hier x, y, z , sodass
die initiale Geschwindigkeit v 0 sich in der
Ebene die x und z enthält befindet. Das wähle ich einfach.
Weil ich meinen Koordinatenursprung
am Ort wo sich der p-Punkt am Anfang befindet
definiert habe, sind die drei initiale Koordinaten 0
wenn t null ist. Für die Geschwindigkeit
ist eine Koordinate null, denn ich habe
v in der x-z Ebene gezwungen. Für x habe ich
einen gewissen Wert, für die Richtung
z auch, aber nicht in der y-Richtung.
Meine Bewegungsgleichungen sehen dann
so aus, mit vielen Konstanten die jetzt verschwunden sind.
Um die Trajektorie zu berechnen, muss ich die
Zeit eliminieren. Wir haben Zeit-Weg- Gleichungen
die Gleichungen genennt in den wir die Position des Massepunktes als eine
Funktion der Zeit hatten. Die Trajektorie beschreibt nur das geometrische Ort.
Da hängt nichts mehr von der Zeit ab. Damit kann ich
schreiben, dass t gleich x über v 0 x, und
dies setze ich hier ein, und hier,
um z als Funktion von
x zu kriegen. Okay, jetzt haben Sie
z als Funktion von x. Da steckt keine Zeit dahinter. Dies beschreibt eine Kurve
in der z-x Ebene. Anders gesagt ist es
eine Funktion z x die eine Parabel definiert.
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