Ces quelques leçons de mécanique de Newton font partie d'un cours de formation de base en mécanique Newtonienne présenté sous la forme d'un MOOC en quatre parties : 1. Lois de Newton À l’École Polytechnique Fédérale de Lausanne, un cours de mécanique fait partie de la formation de tous les futurs ingénieurs et scientifiques. Il a pour but de leur apprendre à transcrire sous forme mathématique un phénomène physique, afin de pouvoir en formuler une analyse raisonnée. Cette partie couvrira notamment la cinématique du point matériel, la balistique dans le champ de la pesanteur et l’oscillateur harmonique. 2. Mécanique du point matériel https://www.coursera.org/learn/mecanique-point-materiel 3. Mécanique du Solide Indéformable https://www.coursera.org/learn/mecanique-solide 4. Mécanique Lagrangienne https://www.coursera.org/learn/mecanique-lagrangienne
3.2 Balistique sans frottement
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Mécanique de Newton
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Les lois de Newton. Balistique.
Vous allez découvrir dans ce module les deux premières lois de Newton. Ceci vous permettra d'analyser le mouvement d'un point matériel dans le champ de la pesanteur (balistique).
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Jean-Philippe AnsermetProfesseur
Institut de Physique de la Matière Condensée, École Polytechnique Fédérale de Lausanne, Suisse
Bonjour, bienvenue au cours de Physique Générale de l'EPFL.
Dans cette leçon, nous venons de nous donner les lois
de la dynamique pour un point matériel, en particulier, la loi F égal ma,
Dans cette leçon, j'aimerais tout de suite appliquer le formalisme,
pour un cas très simple, pour le cas de la balistique dans le champ
de la pesanteur et on va tout de suite adopter une
démarche systématique qu'on va retrouver dans tous les problèmes de mécanique.
D'abord, je vais modéliser la force en présence,
ensuite, je vais choisir un système de coordonnées.
Avec ce système de coordonnées je vais
exprimer la cinématique, donc vitesse et accélération vectorielle.
En appliquant la loi de la dynamique, F égal ma,
je vais pouvoir écrire des équations différentielles, qu'il me faudra intégrer.
Je commence avec le modèle de force.
Et bien, avec notre dynamomètre, on peut
mesurer des forces et qu'est-ce qu'on observe?
C'est que grosso modo, dans une assez bonne précision, à la surface de la
terre, les corps subissent une force, proportionnelle
à la masse, toujours dans la même direction, qu'on va
appeler la verticale, et on va noter le coefficient de
proportionnalité g, on retiendra que g caractérise la force.
Je peux écrire une loi phénoménologique pour rendre compte de mes
observations, ça veut dire une loi d'une forme analytique simple,
je vais écrire F égal mg, la force vaut mg, où g
est un vecteur dont la norme vaut le coefficient
g, le vecteur est vertical, dirigé vers le bas.
Et voici une valeur approximative de g.
Je passe maintenant à une première description de la
dynamique, où je vais me faire l'économie de ne pas
projeter, on verra après comment on fait avec des
projections parce que en général, c'est comme ça qu'on travaille.
Alors, d'un côté
j'ai une accélération vectorielle, c'est ma donnée
cinématique, a, d'un autre côté, j'ai une
loi de la dynamique qui me dit que la force vaut la masse fois l'accélération.
J'ai maintenant observé, que pour certaines
circonstances, la force vaut la masse fois
ce vecteur g, donc je peux en conclure l'équation
suivante : a égal g. Alors j'aime beaucoup,
cette équation-là, parce que elle
pourrait servir de symbole à une difficulté récurrente en physique.
En physique, les symboles que nous utilisons ont un sens,
dans la réalité expérimentale, et ici a égal
g, n'est pas une simple identité et je vais
tout faire pour me retenir d'appeler g l'accélération
terrestre, parce que c'est le début de la confusion.
Ce que vous voyez quand vous voyez a égal g, c'est
l'expression de deux choses, d'une part un modèle de forces, et d'autre
part, l'expression de la loi de la dynamique de Newton
qui dit que la force c'est la masse fois l'accélération.
Il y a les deux dans cette équation a égal g, c'est très très loin d'une identité.
Passons maintenant au travail habituel d'analyse d'un système physique
par lequel nous faisons des projections. Alors je suppose que
je me suis donné un référentiel, je matérialise ce référentiel
par un système d'axes cartésiens, et je choisis de
mettre l'axe z selon la verticale vers le
haut et donc ma force mg est dirigée selon z, vers
le bas. Si j'utilise les coordonnées cartésiennes
d'un système d'axes qui appartient au
référentiel, mon accélération, ma cinématique, est
très facile à exprimer; l'accélération, on
prend simplement les dérivées deuxièmes par rapport
au temps des trois coordonnées, et mes équations du mouvement, les équation
différentielles que je tire en appliquant f égal ma sont les suivantes : on
a, m fois l'accélération dans la direction x qui est nulle, qui vaut la
force dans cette direction-là, elle est nulle parce que on a mis Oz le long de g.
Donc, dans la direction x, on a 0 pour la force, y0 dans la direction z on
a moins mg, encore une fois, si on veut
raisonner en termes de projections, on peut définir un
vecteur z chapeau, dans le sens de l'axe, le produit
z fois g fera intervenir donc, le produit scalaire de z fois g, fait intervenir le
cosinus de l'angle entre les deux, et le cosinus de l'angle entre les
deux, enfin l'angle entre les deux c'est pi, donc le cosinus vaut moins 1.
C'est ce moins 1 qu'on retrouve ici.
Voilà, j'ai ici mes équations du mouvement,
mes équations différentielles qui régissent le mouvement de ma masse m dans
le champ de la pesanteur. Essayons maintenant de les intégrer.
Alors on l'a vu, quand on a fait le
mouvement rectiligne uniforme et le rectiligne uniformément accéléré, dans
l'intégration, on va se retrouver avec des constantes, ces
constantes sont en général déterminées par des conditions initiales,
commençons par exprimer ces conditions initiales.
Alors, d'abord j'imagine qu'à t égal 0, mon point matériel est quelque
part dans mon système d'axes, et, de plus j'ai
une vitesse donnée à t égal 0, qui est n'importe comment.
Alors, je dis que
x y z, à t égal 0, ont ces valeurs-là,
que j'ai notées x(0), y(0), z(0) et je fais la même
chose pour la vitesse, la vitesse dans la direction x, y, z au
temps 0, a des valeurs v0x, v0y, v0z.
Attention à la notation, ici il y a deux indices.
Voici les équations
du mouvement, je les réécris ici, regardons-les les
unes après les autres. Celle-ci,
nous dit que la dérivée deuxième de ma
fonction est nulle, donc la dérivée première doit être une constante.
Que vaut cette constante? Cette constante, elle doit valoir la
valeur de la vitesse initiale, donc v0x, on
intègre encore une fois, alors là je ne
peux pas me permettre cette imprécision, je
dois bien clairement écrire 1 en indice v 0 x,
j'intègre encore une fois, j'ai x fonction du t,
du temps, qui vaut v0x, encore une fois, v0x, fois le temps, plus
une constante que je pourrais appeler d, et on sait que à
t égal 0, x vaut x 0, donc j'ai x 0 qui vaut
d, en résumé, x vaut v0x fois t,
plus x 0.
Dans la direction
y, je vais faire un calcul parfaitement analogue, et dans la direction z, les
choses sont un peu différentes, on a maintenant z point
point, qui vaut moins g,
j'intègre une fois z point vaut
moins g t, plus une constante, encore une fois,
je vais l'appeler C, qu'est-ce qu'on sait de z point?
C'est qu'à t égal 0, quand t égal 0, ceci vaut C,
mais z point vaut v 0 z. Donc, j'ai z point
égal moins g t, plus v0z.
J'intègre encore une fois, z, vaut moins une demie g t
carré, en effet, si je dérive z par rapport au temps, ici j'aurais moins g t.
C'est ce terme-là, et il y a v0z, t; plus une constante.
À t égal 0 on a z 0, on a dit que ça
valait z 0, et si je mets t égal 0 dans cette expression-là,
en dessus, il me reste plus que d. À la fin du compte,
j'ai z qui vaut moins une demie g t carré,
plus v0z, t, plus z z.
Voilà, je peux effacer tout ça, et
j'écris toutes les solutions proprement, les voilà;
avec, v0x, v0y, v0z, qui
sont donnés par la vitesse à t
égal 0; x0, y0, z0, la position
à t égal 0.
On pourrait maintenant se demander que vaut la, quelle est la trajectoire?
Alors, pour calculer la trajectoire, je, j'anticipe un petit peu sur les calculs,
et les faisant, j'ai réalisé que, on
pouvait un petit peu simplifier la notation.
Je redéfinis mon système d'axes, pourquoi je vous
fais passer à travers cet exercice? C'est pour vous rappeler de
façon claire et évidente que les axes, sont donnés par vous.
C'est vous qui choisissez quel système de coordonnées vous allez prendre.
Alors regardez, pour simplifier les expressions, je commence par dire que à
t égal 0, mon point matériel, est à l'origine, à t égal 0,
il est à l'origine de mes axes. Et je choisis
mes axes, ici x, y, z, de manière
à ce que la vitesse initiale v 0, soit dans le
plan qui contient x, et z, c'est mon choix.
Comme j'ai choisi de prendre l'origine
de mes axes de coordonnées à la position point
p à t égal 0, j'ai à t égal 0 les trois coordonnées
qui sont nulles, et pour la vitesse,
comme j'ai imposé x et z dans le plan
qui contient v, j'ai une composante de la vitesse
à t égal 0 dans la direction x, une composante
dans la direction z, mais pas dans la direction y.
Mes équations du mouvement deviennent
alors comme ceci, où il y a toute une série de constantes qui ont disparu.
Pour calculer la trajectoire, je dois éliminer
le temps, on a appelé équation horaire,
l'équation qui nous dit où se trouve notre point matériel en fonction du
temps, la trajectoire, c'est seulement le lieu géométrique des points, il n'y a
plus de temps, alors, je peux de cette équation-là,
tirer t qui vaut x sur v 0, x et je
mets cette expression de t ici, et là,
pour obtenir z en fonction
de x. Voilà, vous avez maitnenant
une expression z en fonction de x, il n'y a plus le temps, on a une courbe dans le
plan z x, si vous voulez on a une fonction
z x et cette fonction-là, c'est une parabole.
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