Задача нахождения экстремума

Loading...

Из курса от партнера Moscow Institute of Physics and Technology

Математика и Python для анализа данных

2987 оценки

Moscow Institute of Physics and Technology

Математика и Python для анализа данных

2987 оценки

Курс 1 из 6 — Specialization Машинное обучение и анализ данных

Анализ данных и машинное обучение существенно опираются на результаты из математического анализа, линейной алгебры, методов оптимизации, теории вероятностей. Без фундаментальных знаний по этим наукам невозможно понимать, как устроены методы анализа данных. Задача этого курса — сформировать такой фундамент. Мы обойдёмся без сложных формул и доказательств и сделаем упор на интерпретации и понимании смысла математических понятий и объектов. Для успешного применения методов анализа данных нужно уметь программировать. Фактическим стандартом для этого в наши дни является язык Python. В данном курсе мы предлагаем познакомиться с его синтаксисом, а также научиться работать с его основными библиотеками, полезными для анализа данных, например, NumPy, SciPy, Matplotlib и Pandas.

Из урока

Введение

Добро пожаловать! На этой неделе мы начнём осваивать язык Python — один из главных инструментов специалиста в науке о данных, и вспомним кое-что о производных, которые активно используются при настройке моделей машинного обучения.

Функции и их свойства6:12

Предел и производная4:00

Геометрический смысл производной2:19

Производная сложной функции2:49

Задача нахождения экстремума3:06

Вторая производная и выпуклость5:06

Познакомьтесь с преподавателями

Evgeniy Riabenko
Evgeny Sokolov
Victor Kantor
Emeli Dral

[БЕЗ_ЗВУКА] В

этом видео мы познакомимся с задачей нахождения экстремума.

Экстремум — это минимум или максимум функции.

Минимум функции достигается в точке x в том случае, если

в некоторой окрестности точки x функция не принимает значение меньше, чем f(x).

Аналогично можно ввести понятие максимума функции.

Один из видов экстремумов — это локальный экстремум.

Это тот случай, когда минимум не является наименьшим значением функции

или максимум не является наибольшим значением функции.

Это поясняет график, показанный на слайде.

В точке a и в точке b у нас экстремумы.

В точке a — максимум, а в точке b — минимум.

Но при этом отчётливо видно, что есть точки, в которых функция достигает

значения больше, чем в точке a, и меньше, чем в точке b.

Поэтому точки a и b не являются точками глобального экстремума,

а являются точками локального экстремума.

Глобальный экстремум — это как раз тот случай,

когда минимум будет наименьшим значением, а максимум будет наибольшим значением.

Разберёмся, как понятие экстремума связано с производной.

Если касательная графику функции в данной точке направлена

под ненулевым углом к оси x, понятно, что в этой точке экстремума не будет,

потому что касательная неплохо приближает функцию.

Это означает, что при сдвиге в одну сторону значение функции увеличится,

при сдвиге в другую сторону значение функции уменьшится.

Это никак не совмещается с понятием экстремума.

Тогда мы можем потребовать,

чтобы в точках, которые мы подозреваем на то,

что это точки-экстремумы, касательная была параллельна оси x.

И действительно, мы с вами придумали необходимое условие экстремума,

то есть равенство нулю производной f'(x).

При этом это условие не является достаточным,

что иллюстрирует опять-таки график на слайде.

Если мы рассмотрим график y = x³,

то в точке x = 0 касательная будет направлена вдоль оси x.

Но при этом совершенно ясно, что это не является ни точкой минимума,

ни точкой максимума.

Ведь если мы сдвинемся в сторону увеличения x, значение функции увеличится.

Если мы сдвинемся в сторону уменьшения x, значение функции уменьшится.

Также производная не обязана равняться нулю в каждой точке экстремума,

потому что в некоторых точках производная может попросту не существовать.

Подведём итог.

Экстремумы — это минимумы и максимумы функции.

Экстремумы бывают локальными и глобальными.

Необходимое условие экстремума — это равенство нулю производной функции

в случае, если она, конечно же, определена.

Ознакомьтесь с нашим каталогом

Присоединяйтесь бесплатно и получайте персонализированные рекомендации, обновления и предложения.

Coursera делает лучшее в мире образование доступным каждому, предлагая онлайн-курсы от ведущих университетов и организаций.

© Coursera Inc., 2018 Все права защищены.

Загрузить из App Store

Загрузить в Google Play