[БЕЗ_ЗВУКА] В этом видео мы познакомимся с задачей нахождения экстремума. Экстремум — это минимум или максимум функции. Минимум функции достигается в точке x в том случае, если в некоторой окрестности точки x функция не принимает значение меньше, чем f(x). Аналогично можно ввести понятие максимума функции. Один из видов экстремумов — это локальный экстремум. Это тот случай, когда минимум не является наименьшим значением функции или максимум не является наибольшим значением функции. Это поясняет график, показанный на слайде. В точке a и в точке b у нас экстремумы. В точке a — максимум, а в точке b — минимум. Но при этом отчётливо видно, что есть точки, в которых функция достигает значения больше, чем в точке a, и меньше, чем в точке b. Поэтому точки a и b не являются точками глобального экстремума, а являются точками локального экстремума. Глобальный экстремум — это как раз тот случай, когда минимум будет наименьшим значением, а максимум будет наибольшим значением. Разберёмся, как понятие экстремума связано с производной. Если касательная графику функции в данной точке направлена под ненулевым углом к оси x, понятно, что в этой точке экстремума не будет, потому что касательная неплохо приближает функцию. Это означает, что при сдвиге в одну сторону значение функции увеличится, при сдвиге в другую сторону значение функции уменьшится. Это никак не совмещается с понятием экстремума. Тогда мы можем потребовать, чтобы в точках, которые мы подозреваем на то, что это точки-экстремумы, касательная была параллельна оси x. И действительно, мы с вами придумали необходимое условие экстремума, то есть равенство нулю производной f'(x). При этом это условие не является достаточным, что иллюстрирует опять-таки график на слайде. Если мы рассмотрим график y = x³, то в точке x = 0 касательная будет направлена вдоль оси x. Но при этом совершенно ясно, что это не является ни точкой минимума, ни точкой максимума. Ведь если мы сдвинемся в сторону увеличения x, значение функции увеличится. Если мы сдвинемся в сторону уменьшения x, значение функции уменьшится. Также производная не обязана равняться нулю в каждой точке экстремума, потому что в некоторых точках производная может попросту не существовать. Подведём итог. Экстремумы — это минимумы и максимумы функции. Экстремумы бывают локальными и глобальными. Необходимое условие экстремума — это равенство нулю производной функции в случае, если она, конечно же, определена.