[БЕЗ_ЗВУКА] Мы начинаем урок, посвященный матрицам.
В нём мы поговорим о том, как они определяются,
как вводить операции на них и как изучать их свойства.
В первом видео поговорим об определении матриц.
Давайте вспомним примеры задач, которые мы рассматривали раньше.
Пусть есть некоторые бутылки вина, для каждой из которых мы хотим определить,
из какого сорта винограда она сделана.
Это может быть нужно, чтобы отличать и настоящие бутылки от подделок: те, которые
сделаны из дорогого сорта винограда от тех, которые сделаны из непонятно чего.
Данные про эти бутылки имеют двумерную структуру.
Дело в том, что бутылок много, и каждая из них описывается набором чисел,
или признаками, числовыми характеристиками этих бутылок.
Такие двумерные структуры встречаются постоянно,
поэтому нужно как-то их характеризовать.
Они называются матрицами.
Матрицы — это, по сути, таблица с числами.
Они обычно обозначаются большими буквами, например A.
Элементы же матрицы A большое обознаются буквами a малое с двумя нижними
индексами: первый обозначает номер строки, второй — номер столбца.
Например, a₁₂ — это элемент матрицы A в первой строке, втором столбце.
В нашем примере это 7.
a₃₁ — это элемент матрицы A в третьей строке и первом столбце.
У нас это −3.
Наша матрица имеет размер 4 на 5, то есть это четыре бутылки вина,
каждая из которых характеризуется пятью признаками.
Пространство всех таких матриц будем обозначать как красивую
букву R с верхним индексом 4 умножить на 5.
Зачем нужны матрицы?
Например, они используются для работы с системами линейных уравнений.
Представьте, что у нас есть четыре бутылки вина, и для каждой из них мы знаем,
подлинная они или нет, сделана из правильного сорта винограда или из ка...
из какого-то дешевого — это подделка.
Можно закодировать это с помощью вектора.
Например, если первая и четвертая бутылки подлинные,
а вторая и третья — это подделки, то закодируем это вектором y с элементами 1,
0, 0 и 1, где 1 — это подлинность, 0 — это подделка.
Мы можем потребовать следующее: будем производить линейную классификацию,
то есть будем складывать значение всех признаков с некоторыми весами,
которые мы обозначаем как w₁, w₂, w₃, w₄ и w₅, и будем требовать,
чтобы такая взвешенная сумма равнялась номеру класса,
то есть 1, если бутылка подлинная, 0, если это подделка.
Получаем следующую систему уравнений.
У неё могут быть некоторые проблемы.
Например, она может быть неразрешима или, наоборот, у нее может быть слишком много
решений, но с этим будем разбираться позже, в курсах на машинное обучение.
А пока будем рассматривать именно такую систему уравнений.
Они будут встречаться постоянно в нашем курсе в самых разных задачах.
И оказывается, можно очень удобно и лаконично записать такую систему,
используя векторы и матрицы.
При этом решения таких систем также будут выражаться через векторы и матрицы.
Но сначала разберемся с парой нюансов, а именно: давайте заметим, что вектор
размера n — это, по сути, тоже матрица, у которой одна из размерностей равна 1.
При этом вектор может быть как вектор-столбцом, то есть матрицей размера
n на 1, так и вектором-строкой, то есть матрицей размера 1 на n.
Давайте введём операцию умножения матрицы
размера m на n на вектор-столбец размера n.
Как это делается?
Результатом умножения такой матрицы на такой вектор будет новый вектор длины m.
При этом первый элемент этого вектора вычисляется как произведение
каждого элемента первой строки матрицы A на каждый элемент вектора w,
и потом это суммируется.
Аналогично вторая....
второй элемент этого вектора — это произведение второй строки матрицы
A на вектор w и затем снова суммирование, и так далее.
Благодаря этому мы сможем матрично записать нашу систему линейных уравнений.
Она будет выглядеть как A умножить на w равняется y — всё очень просто и кратко.
Давайте потренируемся умножать матрицы на векторы.
Умножим нашу матрицу признаков A на вектор весов с координатами 1, 2, 1, 0, 0.
Найдем первый элемент их произведения.
Он получается умножением первой строки матрицы на этот вектор,
то есть 12 умножить на 1, плюс 2 умножить на 7, плюс 1 умножить на 21,
плюс 0 умножить на 31, плюс 0 умножить на 11, или 47.
Второй элемент вектора будет равен 55, третий — 63 и последний — 33.
Давайте заметим ещё один момент.
Пусть есть некоторая матрица размера m на n.
Умножая её на некоторый вектор длины n, мы получаем на выходе вектор длины m.
В нашем случае из длины...
из вектора длины 5 мы получили вектор длины 4.
Получается, что матрица задаёт некоторое преобразование,
некоторую функцию: из одного векторного пространства размерности n в другое
векторное пространство размерности m.
Они будут часто возникать у нас.
Кстати, такие преобразования называются линейными.
Итак, что мы узнали?
Матрицы — это, по сути, таблицы с числами,
при этом вектор тоже является матрицей, у которой одна из размерностей равна 1.
Через матрицы можно записывать системы линейных уравнений.
Также матрицы задают линейные преобразования, или функции,
из одних векторных пространств в другие.
В следующем видео мы более подробно поговорим об умножении
матриц на матрицу или матрицы на векторы и введём другие матричные операции.
Evgeniy Riabenko
Evgeny Sokolov
Victor Kantor
Emeli Dral
