[БЕЗ_ЗВУКА] В этом видео мы поговорим
о векторных пространствах, с помощью которых формализуется понятие вектора.
В прошлый раз мы выяснили, что вектор — это набор из некоторого количества чисел.
Например, в машинном обучении векторы используются, чтобы записывать признаки,
числовые характеристики объектов, например магазинов или бутылок вина.
Дадим более формальное определение.
Векторное пространство — это множество, которое обладает определенными свойствами.
Тогда вектором будет называться любой элемент этого пространства.
Теперь давайте поговорим о нем подробнее.
Итак, векторное пространство — это некоторое множество V, на котором задано
две операции — сложение двух векторов и умножение вектора на число.
При этом операции должны быть замкнутыми,
то есть сумма двух векторов должна давать снова вектор,
а умножение любого числа на любой вектор должно давать снова опять же вектор.
При этом сложение и умножение должны удовлетворять ряду аксиом,
которые соответствуют нашей интуиции о том, как выглядят сложение и умножение.
Дело в том, что элементами векторного пространства могут быть сложные объекты,
необязательно числа.
И операции могут вводиться довольно сложные.
Но при этом интуиция не должна нас подводить, благодаря этим аксиомам.
Аксиомы довольно сложные, мы не будем их обсуждать подробно.
Рассмотрим лишь два примера.
Первая аксиома — это аксиома коммутативности, которая говорит,
что от перестановки слагаемых сумма не поменяется.
Довольно разумно, правда?
Последняя аксиома, дистрибутивности, говорит, что произведение числа на сумму
двух векуторов равняется сумме двух векторов, умноженных на это число.
То есть она нам говорит, что можно раскрывать скобки.
Мы будем работать только с простыми векторными пространствами,
которые называются евклидовыми.
Это пространства, которые состоят из векторов,
каждый элемент которых — это вещественные числа.
Кстати, вещественное число — это любое дробное число,
если вы пропустили курс матанализа.
Евклидовы векторные пространства обозначаются красивой буквой R с верхним
индексом n, где n — это число элементов в каждом векторе этого пространства.
Их можно визуализировать.
Например, R2, то есть все векторы из 2-х элементов, — это точки на плоскости.
R3, то есть все векторы из 3-х элементов, — это точки в пространстве.
К сожалению, дальше визуализировать уже нельзя, но n можно растить и дальше.
Как вводятся операции в евклидовом пространстве?
Так, как это говорит наша интуиция, то есть поэлементно.
Например, если мы хотим сложить два вектора a и b с элементами (a1, ..., an),
(b1, ..., bn), то их сумма — это вектор с элементами (a1 + b1,
a2 + b2, ..., an + bn).
Если мы хотим умножить вектор на число β, то результатом будет вектор,
элементы которого являются (βa1, βa2, ..., βan).
Вернемся к нашему примеру с вином.
Мы хотим определить сорт винограда, из которого сделано вино, для каждой бутылки.
В этом случае векторное пространство — это все возможные описания вина.
Все возможные признаковые описания бутылок.
При этом конкретный вектор — это описание конкретной бутылки.
Эти векторы можно, например, усреднять.
То есть, к примеру,
мы можем посчитать среднее признаковое описание для конкретного сорта.
Для этого уже можно делать некоторый анализ данных.
Например, после этого мы можем искать сорт с наибольшим содержанием алкоголя.
Итак, что мы узнали?
С помощью векторов в машинном обучении описываются объекты реального мира.
При вектор неформально определяется как просто набор из чисел.
Формально же он задается как элемент векторного пространства.
В эту очередь векторное пространство — это некоторое множество с двумя операциями
(сложение и умножение на число) и некоторыми аксиомами.
Далее мы поговорим о линейной независимости,
это важная характеристика любого векторного пространства.
