Собственные числа и векторы

Loading...

Из курса от партнера Moscow Institute of Physics and Technology

Математика и Python для анализа данных

3128 оценок

Moscow Institute of Physics and Technology

Математика и Python для анализа данных

3128 оценок

Курс 1 из 6 — Specialization Машинное обучение и анализ данных

Анализ данных и машинное обучение существенно опираются на результаты из математического анализа, линейной алгебры, методов оптимизации, теории вероятностей. Без фундаментальных знаний по этим наукам невозможно понимать, как устроены методы анализа данных. Задача этого курса — сформировать такой фундамент. Мы обойдёмся без сложных формул и доказательств и сделаем упор на интерпретации и понимании смысла математических понятий и объектов. Для успешного применения методов анализа данных нужно уметь программировать. Фактическим стандартом для этого в наши дни является язык Python. В данном курсе мы предлагаем познакомиться с его синтаксисом, а также научиться работать с его основными библиотеками, полезными для анализа данных, например, NumPy, SciPy, Matplotlib и Pandas.

Из урока

Библиотеки Python и линейная алгебра

На этой неделе мы познакомимся с Python-библиотеками, содержащими большое количество полезных инструментов: от быстрых операций с многомерными массивами до визуализации и реализации различных математических методов. Кроме того, мы освоим линейную алгебру — основной математический аппарат для работы с данными: в большинстве задач данные можно представить в виде векторов или матриц.

Зачем нужны матрицы?5:57

Матричные операции7:29

Ранг и определитель5:10

Системы линейных уравнений4:46

Особые виды матриц4:21

Собственные числа и векторы3:27

Познакомьтесь с преподавателями

Evgeniy Riabenko
Evgeny Sokolov
Victor Kantor
Emeli Dral

[ЗАСТАВКА] Из этого видео вы узнаете, что

такое собственные векторы и собственные значения, и для чего они нужны.

Как мы уже много раз обсуждали,

матрица задает линейное преобразование из одного векторного пространства в другое.

Если матрица квадратная,

то она переводит векторы из некоторого пространства в это же пространство.

Например, мы можем взять некоторую картинку и немного повернуть ее вправо.

Давайте при этом посмотрим, что происходит с отдельными векторами.

Рассмотрим вертикальный красный вектор.

После преобразования он немного поворачивается вправо,

он меняет свое направление.

А вот синий горизонтальный вектор смотрит в ту же сторону,

он остается горизонтальным после применения нашего преобразования.

По сути, он смотрит именно в ту сторону,

в которую и происходит линейная трансформация.

Такие векторы, которые не меняют направление движения после преобразования,

очень важны и называются собственными векторами.

Если говорить формально, собственный вектор — это такой ненулевой вектор x,

что A * x = λ * x.

λ называется собственным значением.

По сути, это уравнение говорит, что вектор x после воздействия на него линейного

преобразования A может растянуться или сжаться,

но при этом не поменять свое направление.

У собственных векторов есть такое свойство: если матрица

A имеет размер n * n,

то число различных собственных векторов и собственных значений не может превышать n.

Давайте в качестве примера рассмотрим матрицу размером 2 x 2 с элементами 2,

1, 1,5 и 2.

Если визуализировать ее, то эта матрица, по сути, переводит единичный квадрат в

некоторый ромб, растягивая его вправо и вверх по диагонали.

Если мы посчитаем собственные векторы и собственные значения этой матрицы,

то получим,

что первый собственный вектор будет смотреть вправо и вверх по диагонали.

По сути, он смотрит ровно в ту сторону, в которую мы растягиваем наш квадрат.

При этом собственное значение при нем будет довольно большим: оно равняется 3,2.

Второй собственный вектор будет перпендикулярен первому,

он будет смотреть влево и вверх.

По сути, это тоже важное направление для матрицы: в эту сторону матрица сильнее

всего сжимает наш квадрат.

Собственное значение при втором собственном векторе будет поменьше: оно

равняется 0,77.

Зачем вообще нужны собственные векторы и собственные значения?

Дело в том, что они будут постоянно всплывать, когда мы будем решать задачу

уменьшения матрицы с максимальным сохранением информации в ней,

потому что собственные векторы дают наиболее характерные направления движения

этой матрицы, наиболее характерные направления изменения векторов.

Также мы столкнемся с собственными векторами,

когда будем решать задачу понижения числа признаков.

В этом случае собственные векторы будут показывать, на какие оси нужно

проецировать наши данные чтобы максимально сохранить дисперсию в них,

максимально сохранить их разброс.

Это называется методом главных компонент.

Итак, что мы узнали?

Собственные векторы — это направления, в которых матрицы лишь растягивают или

сжимают векторы, но при этом не меняют их направления.

Собственные векторы показывают наиболее сильные направления изменения,

которые задает матрица.

Они будут часто встречаться нам, когда мы будем пытаться уменьшать размер матрицы,

сохраняя при этом как можно больше информации.

На этом мы заканчиваем уроки про линейную алгебру, а уже в следующих курсах будем

применять эти знания, чтобы заниматься реальным анализом данных.

Ознакомьтесь с нашим каталогом

Присоединяйтесь бесплатно и получайте персонализированные рекомендации, обновления и предложения.

Coursera делает лучшее в мире образование доступным каждому, предлагая онлайн-курсы от ведущих университетов и организаций.

© Coursera Inc., 2018 Все права защищены.

Загрузить из App Store

Загрузить в Google Play