[БЕЗ_ЗВУКА] В этом видео мы поговорим о системах линейных уравнений. Как вы помните, это некоторый набор из m уравнений, каждое из которых линейное, то есть представляет собой сумму координат вектора x с некоторыми коэффициентами. И каждое уравнение имеет правую часть b₁, b₂ и т.д. Все это можно записать через матрицы и векторы в виде: матрица A коэффициентов * на вектор неизвестных x = некоторому вектору b, который называется правой частью. Задачей является найти вектор x, удовлетворяющий этому уравнению. Возможно три случая: решений может быть бесконечно много, то есть бесконечно много векторов x удовлетворяют этому уравнению; решение может быть единственным; и наконец, решений может не существовать вообще. Давайте рассмотрим пример. Пусть у нас есть два неизвестных: x и y. Тогда линейная комбинация этих неизвестных, то есть уравнение вида a₁x + a₂y = b будет задавать некоторую прямую на плоскости. Пусть сначала уравнение одно, оно будет задавать прямую. Любая точка, лежащая на этой прямой, будет решением. То есть решений бесконечно много. Добавим еще одно уравнение. Тогда нам нужно будет найти пересечение этих двух прямых, задаваемых первым и вторым уравнением. Это будет одна точка, решение единственное. Наконец, добавим третье уравнение. Будем иметь три прямых, при этом любые две из них пересекаются, но все три не сходятся в одной точке: решения не существует. Как понять, какой из этих случаев имеет место? Для этого нам понадобится ранг. Посчитаем ранг матрицы A и ранг расширенной матрицы A, то есть к матрице A добавим в качестве последнего столбца b — правую часть нашей системы уравнений. Если ранг расширенной матрицы равен рангу исходной матрицы A, то хотя бы одно решение у системы есть. Если же ранг расширенной матрицы больше, то решения не существует, поскольку правая часть не выражается линейно через столбцы матрицы A. Если мы выяснили, что хотя бы одно решение есть, то продолжим. Вычислим ранг матрицы A и сравним его с числом неизвестных, то есть с размером вектора x. Если ранг равен числу неизвестных, то решение единственное. Если же ранг матрицы A меньше числа неизвестных, то решений будет бесконечно много. Что делать дальше? Если решений нет, то и делать нечего. Если решение единственное, то можно воспользоваться любым численным методом решения системы линейных уравнений. Например, в пакете SciPy реализованы некоторые такие методы. Если же решений бесконечно много, то обычно нужно ввести некоторые дополнительные требования: какое именно решение мы хотим найти. Например, мы можем хотеть найти такое решение системы ax = b, которое имеет наименьшую норму среди всех возможных решений. Если матрица A в системе квадратная, то есть удобный способ записать ее решение, записать решение этой системы линейных уравнений. Для этого нам понадобится понятие обратной матрицы. Матрица называется обратной к матрице A, если их произведение равно единичной матрице I, то есть матрице, в которой на диагонали стоят единицы, все остальные элементы равны 0. Обратная матрица обозначается, как A с верхним индексом −1. Обращение определено только для квадратных матриц. У прямоугольных обратных матриц не существует. Есть такая теорема, которая говорит, что обратная матрица у A существует тогда и только тогда, когда определитель A не равен 0. В этом случае найти саму обратную матрицу можно, например, численно, с помощью того же пакета SciPy в Python. Итак, если есть некоторая система линейных уравнений с квадратной матрицей A вида ax = b, то решение x записывается аналитически как обратная матрица к A * b, что сильно упрощает многие выкладки. Итак, что мы узнали. Системы линейных уравнений могут иметь ни одного, одно или бесконечно много решений, при этом выяснить, с каким именно случаем мы имеем дело в конкретной ситуации, можно с помощью понятия ранга матрицы A, расширенной матрицы A и т.д. Решать систему можно численно на компьютере. Если матрица квадратная, то решение можно выразить через обратную матрицу к матрице A в системе. Далее мы с вами поговорим о некоторых специальных классах матриц.