[БЕЗ ЗВУКА] Теперь мы готовы к тому, чтобы разобраться, почему же градиент задает направление наискорейшего роста функции. Итак, мы уже достаточно подробно изучили выражение для приближенной оценки прироста функции при небольших изменениях ее аргументов. Также мы разобрались с тем, что такое производная по направлению. Давайте для простоты будем рассматривать двумерный случай, но на самом деле для n-мерного все выкладки будут абсолютно те же. Давайте обозначим изменение значения функции Δf, и в наших прошлых обозначениях Δx теперь будет t * lx, а Δy — t * ly, то есть наши сдвиги по x и по y. Если мы распишем Δf по приближенной формуле, то мы увидим, что получается t умножить на скалярное произведение градиента, на вектор l. Обратите внимание, при стремлении t к 0 Δx и Δy тоже стремятся к 0. Ну то есть мы все ближе подбираемся к точке (x0, y0). А как вы помните, чем ближе мы к точке (x0, y0), тем точнее работает наша приближенная формула. Именно поэтому мы можем воспользоваться ей под знаком предела. Таким образом, мы видим, что Δf / t при t стремящемся к 0 будет стремиться к скалярному произведению градиента на вектор l. И это есть производная по направлению в точке (x0, y0). Теперь самое время разобраться, при чем же здесь направление наискорейшего роста. Ну давайте просто задумаемся, когда производная по направлению будет максимальной, при каком направлении. Скалярное произведение — вещь достаточно простая. Это просто произведение норм векторов на косинус угла между ними. На нормы вектора l мы влиять не можем, потому что мы им задаем просто направление. Мы можем считать, что его норма просто равна 1. На градиент мы тоже влиять не можем. А вот косинус θ мы можем менять, выбирая разные направления. И косинус будет максимален тогда, когда равен 1, то есть когда угол θ между градиентом и вектором l равен 0, то есть вектор l направлен туда же, куда и градиент. Таким образом, градиент действительно задает направление наискорейшего роста. И для того, чтобы выяснить это, нам понадобилось связать производную по направлению l с градиентом.