[БЕЗ_ЗВУКА] Итак, поскольку мы начинаем знакомство с математикой в приложении к анализу данных, давайте двигаться с самого начала, то есть с функций и их свойств. Формально можно было бы определить функцию как отображение из множества, называемого областью определения функции, в множество, называемое областью значения функции. И сразу бы возникло много вопросов. А что такое отображение, а что такое множество, а какие это понятия аксиоматичные и так далее. Поэтому мы с вами будем говорить по-простому. Просто функция — это некоторое соответствие между различными значениями аргумента x и значениями функции f (x). При этом каждому значению аргумента соответствует только одно значение f (x). Это важное свойство функции. Ну и для начала будем знакомиться с функциями действительного переменного, то есть аргументы у этих функций будут просто действительными, или вещественными, как их иногда еще называют, числами. У функции есть область определения, это те значения x, для которых функция задана. Ну, например, если мы рассматриваем функцию f (x) = 1 / x, понятно, что для x = 0 эта функция не определена, значит 0 не входит в область определения. И область значений функции — это просто все значения, которые функция может принимать. На слайде вы видите простые примеры. Например, функция f (x) = 1 / (x − 1), область оперделения — все действительные числа без единицы, область значений — все действительные числа. Функция f (x) = 2 в степени x, область определения — все действительные числа, а область значений — от 0 до плюс бесконечности, не включая 0. В самом деле, мы не сможем подобрать такой x, чтобы получилось отрицательное число, если мы говорим о действительных x. Для того чтобы как то визуализировать функцию одного переменного, люди придумали строить графики. Ну то есть мы можем ввести некоторую систему координат на плоскости, x и y, и построить некоторую кривую, у которой каждая точка будет иметь некоторую координату x и координату y, равную f (x), где f — это функция для которой мы строим график. Но при этом не все графики такие замечательные, как тот, что был на предыдущем слайде. Вы наверное обратили внимание, что на нем не было не единого разрыва. А вот здесь, на этом слайде, мы уже видим график, у которого разрывы в точках a и b. И обратите внимание, они совершенно разные по поведению функции рядом с этими точками. Действительно, непрерывность — это свойство, которое в бытовом смысле можно просто прокомментировать как возможность нарисовать график функции одним росчерком. Это довольно интересное свойство, которое есть не у всех функций и не во всех точках оно может быть. И разрывы бывают самые разные. Ну, например, просто может быть так, что одна точка немножко выбивается из наших ожиданий, ну и если бы мы могли функцию в этой точке поменять и переставить ее в то место, где мы хотели бы, наверное, ее видеть, то функция снова станет непрерывной. Бывают разрывы, похожие на внезапные скачки значения функции. В этом случае, конечно, уже нельзя так просто сделать функцию непрерывной. А бывают разрывы, связанные с тем, что у функции есть асимптота. Асимптота — это прямая, к которой функция может приближаться очень близко, но при этом ее не будет пересекать. Например, такая прямая будет для функции y = 1 / ( x − 1). В то же время не надо думать, что все асимптоты должны быть направлены обязательно вертикально, бывают и наклонные асимптоты, что иллюстрирует график на слайде. Но это уже немножко не про разрывы. Есть еще одно интересное свойство, это гладкость. Функции бывают гладкими. Что это такое — мы поговорим несколько более подробно в следующем видео, а сейчас я хочу создать базовое интуитивное понимание. Смотрите, у графика функции могут быть не только разрывы, но и какие-то углы. И вот гладкость — это отсутствие углов. То есть на рисунке, который вы видите сейчас на слайде, есть две точки, в которых функция не гладкая. В остальных точках всё хорошо. Можно даже придумать пример функции, которая не будет гладкой ни в одной точке. Классический такой пример вы видите сейчас на слайде. Это функция Вейерштрасса. Конечно, в реальной жизни у нас редко встречается ситуация, когда функция гладкая во всех точках. В то же время, конечно, не стоит ожидать, что функции из реальной жизни будут негладкие в каждой точке. Обычно мы имеем какой-то промежуточный случай, который мешает нам пользоваться свойством гладкости, но в то же время не настолько критичен, как в случае функции Вейерштрасса. Подведем итог. Мы с вами узнали, как можно в простом смысле определить, что такое функция. Узнали о свойстве непрерывности функции, про то, что разрывы бывают разные. И немножко познакомились со свойством гладкости функции. В следующем видео мы поговорим про производную и еще чуть лучше поймем свойство гладкости.
