Итак, сейчас мы сконструируем такую ситуацию в Лиге чемпионов, искусственную, при которой команда с 12 очками не выйдет из группы. Я не знаю, был ли такой эпизод в истории Лиги чемпионов, честно не знаю. Это надо посмотреть, но сконструировать его очень просто, берем четыре команды, давайте их назовем просто A, B, C и D, чтобы нам не путаться в именах. И давайте составим график их игр следующим образом: указывать мы будем в клеточке плюс в том случае, если команда в гостях проиграла, то есть если хозяин выиграл, мы будем писать плюс. Если хозяин проиграл, писать минус, если была ничья, буковку «н» просто, и все. И для того чтобы создать аномально-парадоксальную ситуацию, при которой 12 баллов не хватает для выхода из группы, нам нужно создать прежде всего явного аутсайдера. Им будет D, он всем сольет. Значит, вот здесь ничего нет, потому что это команды сами с собой. D всем слил, то есть он слил все у себя дома, и все против него дома выиграли. Итого, у D будет 0 очков. Теперь остальные команды просто все победили дома, вот все остальные матчи, 6 матчей, они все закончились победой домашней команды. Тогда мы просто пишем везде плюсы, потому что все домашние игры были выиграны. И начинаем считать очки. Понятно, что команды A, B и C совершенно равноправные, поэтому можно взять команду A. Она выиграла два раза у команды B и C по одному разу у B и у C, и два раза — у D. Итого, она выиграла четыре матча. Точно так же команда B выиграла оба матча у D и еще два матча, а именно домашние против A и C. Ну и так же C, поэтому у всех трех команд (A, B и C) по 12 очков. Ну а у D, понятно — 0, ни одного очка. Но ясно, что в этих условиях одна их них-то не выйдет из группы, из группы-то выходят две команды, там есть какие-то дополнительные показатели, которые принимаются в расчет, когда количество очков совпадает, но нас это не волнует. Как бы ни было устроено правило выхода из группы, выходят из группы две команды, а значит, одна не выйдет со своими 12 очками, что и требовалось, что называется, построить. Теперь я утверждаю, что если у какой-то команды 13 очков, то она уже обязательно выйдет из группы. Доказательство производится от противного. То есть предположим, что некоторая команда с 13 очками не вышла из группы. Тогда из группы вышли какие-то две другие команды. сколько у них было очков? Ну понятно, что не меньше. Почему она тогда не выйдет. Если она не вышла, значит, у тех, кто вышел было не меньше 13, они должны были быть впереди нее в таблице. Значит, у тех, кто вышел не меньше 13 очков. Итого, в сумме в таблице уже не меньше 39 очков. Я утверждаю, что это явное противоречие. Почему? А потому что в каждой игре разыгрывается не больше трех очков: два, если была ничья, и три, если кто-то победил. А игр всего в таблице — 12, игр — 12. Пар — 6, и каждая пара играет два раза, 6 × 2. Ну или можно просто посмотреть, что их ровно 12 клеточек, и соответственно, максимальное количество очков, которое вообще может быть суммарно у всех команд это если не было ни одной ничьи, 12 × 3 — 36. Поэтому никак не может быть 39 или больше, а значит, наше предположение о том, что с 13 очками можно не выйти из группы — ошибочно. С 13 очками вы точно выйдете из группы. Так, а теперь приступим к везунчикам. Здесь были невезунчики — вот этот, кто-то из этих трех команд, адский невезунчик, не вышел с 12. Теперь давайте посмотрим на экстремальных везунчиков. Сейчас мы построим таблицу, в которой с четырьмя очками команда сумела выйти из группы. Для этого мы сконструируем результаты, в которых есть команда — явный лидер, наоборот. Команда A будет явным лидером, выигравшим все у всех. Плюс, плюс, плюс, минус, минус, минус, то есть все проиграли команде A, что дома, что в гостях. Все прочие матчи закончились ничьей, и теперь очень легко увидеть, что любая из оставшихся трех команда имеет 0 очков против команды A, и ровно четыре игры вничью, то есть по одному очку в каждой из этих игр, соответственно, по четыре очка каждая из них имеет. A — 18 очков, B, C, D — по 4. Но из этих команд только две вылетят из группы, одна должна выйти. По правилам, ровно две команды выходят из группы: одна, конечно — A, но вторая — одна из них. Значит, с четырьмя баллами можно выйти из группы. Ну и наконец, самое сложное, это доказательство того факта, что с тремя очками из группы выйти нельзя. Доказательство от противного, оно немножко сложнее, чем вот здесь. Итак, предположим, что команда с тремя очками вышла из группы. Тогда она обогнала какие-то две не вышедшие команды. Но вот эти две не вышедшие команды, конечно, имеют не больше, чем три очка, тоже. Итого, три из четырех команд имеют не более трех очков. Теперь каждая команда играет шесть раз. Вспомним это и поймем, что если у команды не будет трех очков, значит, как минимум три из этих шести игр проиграны, как минимум три. Если будут две проиграны, то уже очков будет не меньше четырех. Значит, у этой команды три проигрыша, у этой — три проигрыша, и у этой — три проигрыша. Теперь ключевое утверждение состоит в том, что это девять разных игр, потому что не может быть одной и той игры,в которой проиграли, например, вот эта и вот эта команды. В каждой игре либо ничья, либо выиграл, а кто-то проиграл, поэтому те три игры, которые проиграла эта команда, и те три игры, которые проиграла эта, и те три игры, которые проиграла эта это разные игры, разные наборы из трех игр. Поэтому у нас уже минимум девять игр, в которых кто-то выиграл ну раз эти команды проиграли,значит, соответственно, кто-то выиграл, то есть в которых разыграно три очка, а не два, как в ничейных. так как всего есть 12 игр, и в девяти как минимум разыграно три очка, а в оставшихся трех, никак не меньше двух очков, потому что либо ничья, тогда два очка, либо победа кого-то, тогда тоже три, то у нас получается 9 × 3 + 3 × 2 это минимальное количество очков, которое имеют в сумме все команды. Вот эти девять игр с победой кого-то это уже 27 очков. И еще три игры минимум с ничьими, но в любом случае в таких играх не менее двух очков, то есть всего 33 очка или больше должно быть в сумме у всех команд. Ну и что? Девять или меньше из них приходится на три команды Значит, на четвертую приходится 33 − 9 или больше. Но уже 33 − 9 — это 24, что является полным абсурдом. Одна команда может максимум набрать 18 очков, выиграв все матчи, но никак не 24. Поэтому теорема полностью доказана: с тремя очками выйти нельзя, с четырьмя можно, с 13 нельзя не выйти, а с 12 можно не выйти.
