Следующий сюжет покажет нам, что с пределами нужно быть довольно аккуратным. есть бочка с вином, большая-большая бочка с вином. Изначально, она полна, в ней огромное количество вина. Например, тысяча литров вина. И вдруг, в ней кто-то, какой-то вредитель, проделывает маленькую дырочку размера Ε (эпсилон) и начинает за ней наблюдать в течение времени T. У нас появляются два параметра задачи, и мы можем ввести такую функцию: функция V(E,T) — это количество вина, остающееся в бочке с дыркой размера и диаметра E через время T. Ну, и понятно, как эта функция себя ведет. При фиксированном времени наблюдения, если, например, я наблюдаю в течение часа за несколькими бочками с разными дырочками, чем меньше дырка, тем больше вина будет по итогу наблюдения, в течение времени T. А с другой стороны, если я дырочку зафиксирую и буду наблюдать, меняя время T, наблюдать всё дольше и дольше, то понятно, что вина будет всё меньше и меньше. В частности, если мы воспользуемся обозначениями пределов, мы можем записать эту ситуацию следующим образом: предел при E стремится к нулю, количество вина, которое остается в бочке через время T, если в ней дырка имеет размер E, этот предел равен полной бочке. Что это означает? Это означает следующее: если мы будем неограниченно уменьшать дырку, то за фиксированное время T, за фиксированное время наблюдений, выльется всё меньше и меньше, и в пределе, в общем, не выльется ничего, какие-то несколько капель только пропадут за это время. То есть, вот это утверждение верно при любом, вообще, T. А с другой стороны, предел при T стремится к бесконечности, к плюс бесконечности, если мы будем наблюдать всё дольше и дольше, при фиксированном размере дырки, то это, конечно, ноль литров. Это утверждение о том, что через любую, сколь угодно маленькую дырку за какое-то неограниченное время всё вытечет. Поэтому это утверждение верно для любого E. Теперь это что означает? Смотрите. Если это утверждение верно для любого T, то тогда предел при T стремится к бесконечности предела при E стремится к нулю V(E,T) будет равен всё тем же тысячи литрам, потому что если вы внутренний предел вначале взяли, то есть, вы для любого фиксированного периода наблюдений сделали дырку достаточно маленькой, чтобы из неё ничего не вытекло, а потом устремили этот период к бесконечности, каждый раз адаптируя дырку, чтобы она была достаточно маленькой, то у вас в пределе так и будет, при T стремится к бесконечности, вы будете поддерживать полную бочку. А вот если вы поменяете всё местами и сделаете наоборот — напишете предел при E стремится к нулю предела при T стремится к бесконечности V(E,T), то у вас был ноль при всех внутренних значениях. Какая бы ни была дырка, если вы адаптируете время достаточно долго, то всё вытечет, поэтому при уменьшении дырки, неограниченно к нулю, если вы каждый раз после выбора дырки адаптируете время, то у вас все вино вытекает, поэтому остается ноль, и значит предел, вот в этом порядке взятый, он другой. Видите, как получается? Есть два предела одной и той же функции, зависящей от двух параметров (два предела, взятые в разном порядке), и они дают, очевидным образом, совершенно разные вещи. Переставлять пределы нельзя, без каких-то дополнительных предположений. В этой задаче, переставлять пределы просто нельзя. Вы мне не поверите, но половина математического анализа посвящена вопросу о том, в каких условиях можно переставлять предельные переходы. Фактически, матанализ — это наука об этом. Какие дополнительные условия нужны, чтобы в некоторых случаях переставлять предельные переходы. Ведь это очень полезно. Бывает так, что большие-большие выражения они быстренько сокращаются как-то и приводят к каким-то простым ответам, но только если можно переставлять предельные переходы. Остерегайтесь это делать без каких-то дополнительных условий.