Добрый день, дорогие слушатели!
На этой шестой, завершающей неделе, мы с вами попробуем систематизировать
и обобщить те знания и то понимание математики, которое мы приобрели.
Эта неделя называется «Число».
Число — это центральное понятие всей математики.
Давайте с вами зададим пять вопросов,
которые здесь перечислены.
сколько на столе яблок?
сколько летит чаек?
Вон полетели чайки, сколько их? Давайте их пересчитаем.
у меня есть несколько гирь разного веса.
Вот я взял какие-нибудь две гири различные, и я спрашиваю:
во сколько раз одна из них тяжелее другой,
скажем, большая тяжелее меньшей?
сколько сейчас градусов на улице, какая температура?
Пятый вопрос.
Возьмем шарнир, который мы использовали в сюжете про поезд
с какой силой надо его подтолкнуть вверх,
чтобы он в точности встал в вертикальное положение?
Не упал назад, не переметнулся на другую сторону,
а в точности встал в горизонтальное положение в конце концов.
Вот пять разных вопросов.
Что у них общее?
Общее у них то, что ответом на каждый из них
является некоторое число.
Но посмотрите, какие разные все эти числа.
Наверное, вы скажете, что на первые два вопроса ответы
совершенно одинаковые в том смысле,
что ответом служат какие-то натуральные значения.
Скажем, если здесь три яблока, а чаек было тоже три, то тогда ответ
на первый и на второй вопрос ничем не отличается — это число 3.
Так вот, еще 10000 лет назад человечество не осознавало,
что те натуральные числа, которыми считают чаек,
— это те же самые натуральные числа, которыми считают яблоки.
То есть три яблока и три чайки были разными тройками.
Вот это вот обобщение экспериментального опыта,
которое привело к натуральным числам — это огромная работа человечества.
Об этом написано в книге Фосс «Сущность математики»,
которую я очень всем рекомендую, вот это становление
«Сущность математики»,
то, как человечество постепенно, постепенно приходило
ко всё большему обобщению, построив вещественные числа.
Именно этим мы и будем заниматься в течение этой недели.
Давайте посмотрим, какие ответы возможны на следующие три вопроса.
Во сколько раз одна гиря может быть тяжелее другой?
Может быть в два, в три, в четыре, но это если нам очень сильно повезет.
А вообще говоря, она может быть в 2,5, в 2,7
— в любое такое число, которое мы назовем нецелым.
И, более того, понятно, что точное значение
здесь и не требуется.
То есть в этом вопросе номер три нужно примерно оценить.
Скажем, если я хочу гири куда-то перетащить с места на место,
я должен оценить, могу ли я взять, например,
две гири одновременно большие.
И если я знаю, сколько гирь я маленьких беру,
мне нужно примерно знать, во сколько раз одна гиря
тяжелее другой, тогда я смогу прикинуть это.
То есть в житейском смысле здесь явно не требуется точности,
ну и по сути дела тут годится, в общем-то,
любое число, положительное число.
Какая температура на улице?
Вот тут мы приходим к новому понятию,
понятию отрицательных чисел.
Температура на улице может быть, например,
минус 13 градусов или примерно минус 13 градусов.
Здесь тоже не требуется большая точность.
Если минус 13 или минус 13,2, я вряд ли это различу.
И в том, и в другом случае я надену теплое пальто,
шапку и варежки, и мне не очень важно точное значение.
Но существенно заметить, что здесь появляются отрицательные числа.
Это тоже огромная работа, которую проделало человечество.
Более того, у меня даже есть такая философская,
что называется, сказка, или, как говорят в Интернете,
прогон, у меня есть философский прогон.
Мне кажется, что успехи в математике именно северных народов
связаны с тем, что они с детства приучены к отрицательным числам.
Бывает зимой мороз; мороз — это отрицательная температура.
Если есть отрицательная температура, которую вы с детства наблюдаете
и знаете, то для вас отрицательные числа — это раз плюнуть,
ничего сложного в этом нет.
А для детей, например, из Африки, пойди объясни, что такое минус три:
у них нет визуального опыта общения с отрицательными числами.
Поэтому есть такое огромное преимущество
они сразу знают, что такое
отрицательность, и поэтому им проще создать математическую базу.
К этому не надо относиться серьезно,
это мое собственное такое философское мнение.
Теперь посмотрим на пятый вопрос.
У ответа на пятый вопрос есть что-то общее
и с первыми двумя, и со следующими.
как и в первых двух вопросах,
ответ должен быть абсолютно точным.
Чуть-чуть меньше сила толчка, и у вас шарнир падает назад,
чуть-чуть больше — и он падает в ту сторону.
Но, как и в третьем вопросе, ответ может быть
любым вещественным числом.
Просто здесь нам требуется его как можно точнее узнать.
В идеале нам нужно просто в точности указать прямо вот
на то место на прямой, где находится значение силы,
с которой надо толкать.
Поэтому вот, пожалуйста, такие разные числа.
Но все они, все эти числа, могут быть изображены
на одной и той же прямой линии.
И вот построением системы чисел, которые могут быть изображены
на прямой, то есть то, как говорят математики,
их называют вещественными числами,
иногда говорят «действительные числа».
Построением такой системы чисел мы и займемся в течение этой недели.
Савватеев Алексей ВладимировичДоктор физико-математических наук
Бычков Борис СергеевичКандидат физико-математический наук, младший научный сотрудник международной лаборитории теории представлений и математической физики НИУ ВШЭ
