Итак, геометрическое доказательство иррациональности,
как говорят математики, корня из двух, то есть непредставимости в виде дроби,
мы получили.
Удивительно, что выдумали его не в древние времена,
а выдумал его один английский ученый где-то в XIX веке.
Так бывает, что какую-то античную задачу вдруг решили
совершенно античным методом в наше время.
Такое случается, есть несколько таких примеров.
Ну недоработали, да, античные ученые.
Много у них было свободного времени, но кое-что они оставили и
своим потомкам.
Есть еще одно доказательство, которое мне кажется тоже довольно
полезным для понимания математики.
Доказательство чисто арифметической природы.
Будем доказывать от противного вот это равенство.
При этом я хочу это равенство сократить на все общие множители,
которые у m и n могут быть.
То есть каждое число имеет какие-то множители, на которое оно делится.
У каждого числа есть набор чисел, на которые оно делится,
называется множители этого числа.
И если мы представляем корень из двух в виде дроби,
то всегда можно что сделать? Эту дробь полностью сократить
на все общие множители. Скажем, если это была какая-то дробь.
Представим себе, что это какая дробь типа (120 / 75),
то явно можно сократить на 5 и представить в виде (24 / 15),
а потом еще на 3 сократить, будет (8 / 5) на самом деле,
и вот дальше эту дробь уже сократить нельзя, общих множителей у 8 и у 5 нет.
И всегда можно любую дробь сократить до конца, до самого, так сказать,
предела, до того, что больше общих множителей
у числителя и знаменателя не будет.
Хорошо.
Давайте предположим, что корень из двух равен некоторому отношению m к n,
и эта дробь несократима. Тогда что мы можем сказать про m и n?
Можно сказать следующее, что они не могут одновременно быть четными.
Потому что, значит, иначе мы их недоскократили до конца,
если они оба четные, давайте досократим на двойку.
Хорошо. Значит, запомним, что они оба одновременно четными быть не могут.
Очень хорошо. Следовательно, какое из них четное?
Если какое-то и четное, то только m,
потому что m четным быть обязано.
m² является числом четным, делится на 2.
Но квадрат нечетного числа, он нечетный.
Поэтому m должно быть четным, чтобы его квадрат делился на 2.
Если m четное, то m представляется в виде
2 умножить на какое-то целое число.
Четные числа — это кратные двум.
Целые, кратные числа 2.
Но тогда его квадрат,
числа m, равен (4 * k²),
то есть при возведении в квадрат
возводится в квадрат и двойка тоже, и превращается в четверку.
И тогда это равенство
можно переписать в виде 4 * k² = 2 * n².
Теперь мы сокращаем это равенство на двойку
и получаем, что n² = 2 * k².
Но это, в свою очередь, может быть верным только в том случае,
если само n тоже является четным,
потому что квадрат нечетного числа должен быть нечетным числом.
А значит, мы пришли к противоречию. Вроде мы досократили до конца
эту дробь, но, после того как мы провели анализ вот этого равенства,
выяснилось, что нет, и m должно быть четным из этого вот уравнения,
и n должно быть четным из этого уравнения.
То есть мы пришли к противоречию вот таким образом.
Корень из двух является числом иррациональным, потому что если бы
мы могли так его представить, мы бы не могли сократить до конца эту дробь.
В то же время любую дробь, конечно, можно сократить до самого конца.
Теперь еще интересный момент, который связан с корнем из двух.
Нанесем его на доске, на нашей прямой.
Вот есть 0, есть 1, есть 2
и где-то здесь у нас живет корень из двух
и не является дробью.
Казалось бы, какое-то отдельно взятое число получили новое,
ну есть еще какой-то там корень из двух, но, может быть, грубо говоря,
все остальные числа уже дробные?
Я хочу вас убедить в том, что появление здесь корня из двух
на самом деле рождает огромное количество новых чисел,
ни одно из которых не является дробью.
Прежде всего,
если я напишу (m / n) * √2,
то такое число никогда не будет дробным по той причине,
что если бы оно было дробным,
то тогда мы могли бы что сделать?
Мы могли бы в этом равенстве, если бы это равенство выполнялось
при каких-то k и l, то тогда поделили бы на число вот это вот,
коэффициент при корне из двух, и мы бы получили, что корень из 2 тогда
должен был бы быть равен (k * n ) / (m * l),
согласно действиям арифметическим, поделили левую и правую часть
на дробь (m / n). m ушло в знаменатель, n прыгнуло в числитель.
Но это же целое число, и это тоже целое, то есть из этого следовало бы,
что корень из двух все-таки дробь, вопреки доказанному.
А значит, смотрите, мы уже получили
столько же новых чисел
на прямой, сколько было рациональных, потому что каждой дроби,
каждому рациональному числу, теперь сопоставляется еще новое число,
которое не является рациональным, не является дробью.
То есть мы по крайней мере удвоили количество чисел,
которые мы знаем, на нашей прямой.
Но я утверждаю, что мы его не только удвоили, мы на самом деле его
увеличили в бесконечное количество раз. Смотрите, как я могу это сделать.
Я могу это сделать так. Я теперь возьму любое рациональное число,
умножу на корень из двух
и еще прибавлю любое другое рациональное число.
И я по-прежнему утверждаю, что то, что здесь написано,
это число не является дробью,
то есть могу снабдить корень из двух любым рациональным коэффициентом
и прибавить еще любое рациональное число.
Смотрите, сколько здесь параметров.
Целое, целое, целое, целое — это все совершенно произвольные числа,
только на 0 не делите, то есть n и l должны быть отличны от нуля.
Никогда это не может быть
равно какой-то новой дроби,
еще какое-то целое делить на какое-то еще целое.
Почему?
Примерно по той же самой причине,
что и здесь, только немножко сложнее. Я предлагаю провести
эти рассуждения всем слушателям, аккуратно провести их.
Предположить, что здесь стоит равенство,
и выразить корень из двух через все остальные параметры.
У вас все равно получится в результате, когда вы будете вот это
равенство разрешать относительно корня из двух,
как будто это x,
этот корень из двух будет все равно выражен в виде некоторой дроби,
то есть если бы это равенство было верно, корень из двух по-прежнему
был бы равен какой-то дроби,
то есть какому-то отношению целых чисел.
Так как это неверно, то, значит, все такие выражения —
это какие-то новые числа на прямой.
а что еще таится на прямой?
Какие еще бывают числа на прямой?
Раз есть корень из двух со всеми своими вот такими вот выражениями еще,
которые за ним вместе идут,
а может быть, еще какие-то принципиально новые
есть числа, которые уже даже в таком виде не выражаются?
Или вот в таком виде уже все числа выражаются?
В общем, не буду скрывать ответ. Ответ, что чисел еще очень много разных,
и про это мы поговорим в следующий раз.
Савватеев Алексей ВладимировичДоктор физико-математических наук
Бычков Борис СергеевичКандидат физико-математический наук, младший научный сотрудник международной лаборитории теории представлений и математической физики НИУ ВШЭ
