Давайте рассмотрим ещё одну задачку, которая напрямую не связана с сюжетом про пятнашки, но она пропитана духом понятия инвариант. Вот два стакана. В одном молоко, в другом — вода. В стаканах одинаковое количество жидкости. Я беру ложку молока, полную ложку молока, ровно одну и переливаю её в воду, не перемешивая. Потом ту смесь, которая здесь возникла, я переливаю обратно в молоко. чего больше — молока в стакане с водой или воды в стакане с молоком? Для того чтобы ответить на этот вопрос, нам нужно выписать некоторые формулы. Итак, если ответ неочевиден, то надо рассуждать так, как рассуждают математики, а именно, обозначить все переменные, которые мы анализируем, за иксы, игреки, зеты и так далее. Начнём с того, что обозначим за X количество воды в молоке. Количество воды в молоке. Далее, Y — количество молока в молоке. Ну, то есть молока в стакане с молоком. Так как в нём теперь не одно только молоко, количество молока «в молоке». Далее, пусть у нас будет Z — это количество молока в воде. Количество молока в воде. И W — ещё одна переменная. X, Y, Z и W. W — это количество воды в воде. Ну, то есть воды в стакане с водой. В том стакане, в котором изначально была одна вода. Давайте теперь попробуем выписать уравнения на эти переменные. Например, чему равно X + Y? Чему равно количество воды в стакане с молоком плюс количество молока в стакане с молоком? Понятно, что полный стакан. Потому что мы сколько взяли — одну ложку переместили из стакана в стакан, потом такую же одну ложку переместили обратно. Поэтому количество жидкости в обоих стаканах одинаково. Оно не менялось, оно не изменилось после этой нашей операции двойной. Поэтому X + Y — это целый стакан жидкости. Хорошо. А что такое Z + W? Ну понятно, что Z + W — это тоже целый стакан. Потому что это второй стакан. Это сколько жидкости во втором стакане. Z + W тоже равняется просто полному стакану. Далее, теперь вопрос такой: если я X сложу с W, то что это такое? X — это количество воды в молоке, а W — количество воды в воде. То есть X + W — это столько, сколько всего есть воды. Но всего воды есть и было изначально ровно один стакан. То есть получается, что X + W — это тоже ровно один стакан. Вот это всё справа, да? Переменная — стакан, она одно и то же значение всюду принимает. Я могу дописать и последнее уравнение тоже, что Y + Z — это тоже стакан, но оно, наверное, мне даже и не понадобится. Теперь, что мы хотим выяснить? Чего больше: количества воды в молоке — это X, или количества молока в воде — это Z. Чего больше? X или Z? Ну давайте посмотрим на вот эти два уравнения: Z + W равняется стакану, но X + W тоже равняется стакану. Поэтому Z + W = X + W. А значит, если мы теперь вычтем W — то есть количество воды в воде, то мы получим, что X = Z. То есть ответ в нашей задаче состоит в том, что как бы небрежно мы ни переливали ложку обратно, сколько бы в неё ни попало воды или молока, всё равно, количество воды в молоке и количество молока в воде будет совершенно одинаковым. Это удивительный ответ. Между прочим, когда я был в школе, меня этот ответ поразил. Ну, он, вроде бы, совершенно очевидный, если некоторое время подумать, можно и без всяких формул это понять но он действительно поразительный. Что бы вы ни делали, вы эту ситуацию не измените, это инвариант. Инвариант состоит в том, что количество воды в стакане с молоком и количество молока в стакане с водой будет всегда одинаковым после вот такого двойного переливания.