Еще проще понять, что некоторые бесконечные суммы равны конечным числам, на примерах убывающих геометрических прогрессий, и самый простой здесь пример состоит в следующем. Пусть папа дал сыну половину яблока. Взял яблоко, отрезал половину и дал сыну. Потом от оставшейся половины яблока, папа отрезал еще половину. Она уже составляет одну четверть яблока; дал сыну. «Пап, я еще хочу». «Ну, пожалуйста сынок. Вот тебе половина от оставшейся половины». Ну такой отец, который любит издеваться над детьми. «Я голоден, папа. Я хочу еще кушать». «Ну, нет проблем. Всегда, когда спросишь, я тебе дам». И отрезает от оставшейся «восьмушки» еще половину. Сын плачет, хочет есть, а он ему еще половину от оставшейся шестнадцатой части. Ну и понятно, что он это единственное яблоко, одно, которое у него было, получается, скормит сыну за бесконечное количество шагов, то есть за бесконечное количество ходов. Совершенно ясно, что вся вот эта сумма равна в точности единице. Тут, грубо говоря, особо и говорить не о чем — это простейший пример сходящейся геометрической прогрессии. Интересно, что любая геометрическая прогрессия с убывающим шагом сходится. И мы сейчас это будем с вами доказывать. Но прежде, мы проиллюстрируем это на одном очень интересном наглядном примере. Вот мы берем мяч, поднимаем, отпускаем, и смотрим, что с ним будет происходить. [ЗВУК] Повторим эксперимент еще разок. [ЗВУК] И мы слышим в конце, что он ударяется очень-очень много раз, то есть когда он уже близко к столу, в моем случае, вот эти вот прыжки становятся всё меньше и меньше, и всё чаще и чаще. Так вот, оказывается, что в идеальной картине мира, которая не учитывает, как говорят ученые, квантовых эффектов, он за конечное время ударится бесконечное количество раз. Фактически это соответствует ситуации, когда отец скармливает сыну яблоко, всё это яблоко бесконечными порциями, но каждый раз вдвое быстрее дает ему следующую часть, чем предыдущую. И тогда понятно, что вся эта бесконечная сумма уложится в один раз, то есть в конце он так ножом будет только-только успевать отрезать и давать, ну и в конце концов, мы уже не сможем даже уследить, вот это бесконечное количество передач пройдет за конечное время. Это такая как бы правильная интуиция того, что такое геометрическая прогрессия. Хорошо Да. Конечно понятно, что, грубо говоря, кузнечик, который каждый раз устает вдвое, он не уйдет дальше, чем двойная эта вот величина первого шага. Это, конечно, понятно. Это понятно, наглядно и очевидно. А вот что происходит с кузнечиком, который каждый раз теряет 1 %, грубо говоря, своей батарейки? То есть, в начале он прыгает на один шаг, а потом на шаг длиной почти-почти один, длиной 0,99. То есть он потерял 1 % батарейки. В следующий момент он потеряет еще 1 % своей внутренней батарейки и прыгнет на 0,99 от 0,99, то есть на 0,99 в квадрате. Произведение 0,99 на 0,99, но это на самом деле всё еще довольно большая величина, это примерно 0,98. То есть визуально мы даже не сможем отличить её фактически от первого шага, и если спросить человека, который об этом не думал, далеко ли ускачет этот кузнечик, «Ну наверное он ускачет до бесконечности». Но, нет. Я утверждаю, что он никогда не достигнет отметки 100. Вот где-то там далеко-далеко, я не буду проходить сто таких шагов, где-то далеко-далеко на этой прямой есть отметка 100. Я утверждаю, что кузнечик, у которого батарейка садится на 1 % за один шаг, никогда её не достигнет. Почему? А потому что давайте посмотрим на каждый его шаг и посмотрим, какой процент расстояния до отметки 100 этот шаг составляет — оставшегося расстояния. Первый шаг размером 1 составляет естественно 1 % всего расстояния до отметки 100. А какой процент составляет следующий шаг? Он равен 0,99. Но осталось-то у нас сколько? Осталось 99 метров, да? А что такое 0,99 делить на 99? Это опять 1/100. То есть если мы измерим расстояние от вот этой точки до отметки 100 и посмотрим, какую долю этого расстояния составит следующий прыжок нашего кузнечика, то эта доля опять равна 1 %. И если вы аккуратно проделаете операцию на следующем шаге, поделив 0,99 в квадрате на то, что останется, вы опять получите 1 %. Это неизменная величина — это инвариант, говоря языком предыдущих наших лекций. Инвариант кузнечика состоит в том, что он каждый раз проходит фиксированный в данном случае 1 %, а для произвольной геометрической прогрессии будет какой-то другой процент, но фиксированный, каждый раз один и тот же процент оставшегося расстояния до некоторой точки, которую можно очень легко посчитать. И формула из школы гласит, что сумма бесконечной геометрической прогрессии (Кто помнит школу? В школе говорят, что такое сумма бесконечной геометрической прогрессии, правда, не объясняют, что это означает), равна 1/1 минус 0,99, а это как раз и есть 100. Поэтому 100 я выбрал не даром. Для любой геометрической прогрессии можно посчитать такую сумму: 1/1 минус вот соответствующий шаг. Отметить точку на прямой, и убедиться в том, что каждый следующий шаг составляет один и тот же фиксированный процент оставшегося до неё расстояния, а значит, никогда до этой точки не дойдет. Потому что шаг за шагом не меняется это понимание, что он это расстояние не только не пройдет, а он просто каждый раз отмерит от него один и тот же процент. Вот и всё. И это означает, что кузнечики, которые устают каждый раз на фиксированный процент, никогда не дойдут до бесконечности. Ну конечно, в зависимости от того, насколько быстро они устают. Кто-то дойдет до 100, а кто-то всего до 2. Вот, мы уже знаем четыре разных бесконечных суммы. Гармонический ряд расходится, то есть уходит дальше любого наперед заданного числа, какое хотите, вот такое число закажите мне. Миллиард. «Через такое-то количество шагов гармонический ряд будет дальше, чем миллиард». А остальные три ряда, они сходятся к какому-то конечному числу. И в случае обратных квадратов это очень трудная теорема, доказать, что сходится к числу пи квадрат на 6, а в случае геометрических прогрессий это число даже очень легко посчитать.
