[МУЗЫКА] Итак, что же общего может быть у таких разных и по размеру, и по форме, и по комбинаторным данным многогранников? Что у них может быть общего? Великий математик XVIII века, основоположник науки топология, Леонард Эйлер, который, кстати, полжизни прожил в России, догадался до некоторой совершенно замечательной формулы. Причём настолько простой, что я не могу себе представить, что до него её никто не знал. Может быть, он первый, кто её доказал в строгом виде. Итак, давайте посчитаем у каждого из этих многогранников количество вершин, рёбер и граней. Начнём с тетраэдра. У тетраэдра четыре вершины. B = 4, шесть рёбер и четыре грани. Каждый из вас может проделать это упражнение самостоятельно. Перейдём к кубу, про который тоже все, в общем, всё знают. Вершин у куба восемь, рёбер — 12, а граней — шесть. Далее следует чуть менее известный многогранник, правильный многогранник под названием октаэдр. У него — раз, два, три, четыре, пять, шесть вершин, у него — один, два, три, четыре, пять, шесть, семь, восемь, девять, десять, 11, 12 рёбер, а граней у него — восемь. То есть он устроен зеркально относительно куба, и на самом деле в этом есть некоторая глубинная математическая причина, но её касаться мы сейчас не будем. Наконец, возьмём самый сложный из наших многогранников — икосаэдр. Если аккуратно посчитать вершины, то их получится 12 штук. Один, два снизу и по пять на каждой широте, так сказать, если его представить в виде земного шара. С северным, южным полюсом и двумя широтами. Рёбра просчитать ещё сложнее, но если сделать это аккуратно и внимательно, получится, что их 30. Граней у него 20, а именно пять сверху, пять снизу и десять вот в этом перешейке. Ну и теперь уже не так сложно угадать, что же у всех этих наборов данных общее. В – Р + Г. То есть если вы вычтете из количества вершин количество рёбер, а потом прибавите количество граней, то всё время получается одно и то же число, равное двум. Это называется теорема Эйлера. В – Р + Г для любого многогранника, образующего поверхность сферы, то есть из которого можно изготовить путём надувания футбольный мяч, для любого такого многогранника В – Р + Г = 2. Это надо доказывать, и это утверждение вслед за Эйлером мы строго докажем. A пока что я хочу сказать, хочу наглядно продемонстрировать, что для многогранника, который надувается в тор, то есть для любого многогранника, так сказать, нанесённого на поверхность тора, значение будет уже другим. Ну давайте приведём какой-нибудь конкретный пример многогранника на торе и посчитаем у него В, Р и Г, после чего вычислим вот эту самую Эйлерову характеристику, как её называют математики. Итак, берём тор и попробуем его сшить, как мы сшивали футбольный мяч из некоторых многоугольников. Попробуем тор сшить из квадратиков. Нанесём четыре вершинки вот так вот по вот этой окружности, которую мы ниткой обводили, и соединим эти вершинки между собой рёбрами. Получится квадрат. Топологически это квадрат, хотя, конечно, после надувания он превратился в окружность. Но топологически это квадрат. Теперь давайте к этому квадрату вот так вот прибавим четыре ребра и здесь сделаем ещё один квадрат. В результате мы на самом деле часть, кусочек вот этого тора превратили в куб. Итого, мы на торе нарисовали некоторый кубик. Теперь, чтобы получить тор, нам нужно этот куб, так сказать, клонировать несколько раз, вот так по поверхности тора будем идти, клонируя этот куб, и в конце концов мы упрёмся в зад вот того куба, который мы уже построили. Получается, что из нескольких кубов, ну скажем, из десятка кубов, у нас получится весь тор. Теперь я призываю некоторое воображение. Мне понадобится сейчас воображение слушателей, чтобы понять, сколько у такой фигуры будет вершин, рёбер и граней. Давайте попробуем. Итак, вершин — один, два, три, четыре, и так со сдвигом по четыре вершины у каждого следующего куба. И у последнего тоже четыре вершины, потому что всего у куба восемь вершин, но каждая четвёрка повторяется вместе с четвёркой следующего за ней. Поэтому здесь каждый из кубиков в нашу картинку вкладывает четыре вершины. Итого, если кубиков, например, было десять, у нас получится десять поясов, да? По четыре вершины. То есть вершин будет 40. Прекрасно. сколько у него будет рёбер? Тоже, смотрите, каждый кубик вкладывает в общее дело восемь рёбер. Четыре, которые соединяют эти четыре вершины, и четыре, которые вот так попарно соединяют эти вершины со следующим поясом. А рёбра следующего пояса мы уже не учитываем, потому что их мы учтём при рассмотрении следующего приложенного сюда куба. Итого — по восемь. Поэтому всего рёбер будет 80. Каждый их кубиков, из десяти кубиков, из которых мы сложили тор, дал нам восемь рёбер. Итого — 80 рёбер. Осталось посчитать количество граней, что тоже очень просто. В каждом поясе, да? У каждого куба мы видим только внешние вот эти вот боковые четыре грани. Две внутренние грани — это грани, которые лежат внутри самого тора, не на его поверхности, поэтому мы их вообще не видим и не считаем. Тем самым на поверхности остаётся на каждый куб по четыре грани. Итого — 40. Г = 40. А теперь, пожалуйста, посмотрите, чему равно 40 – 80 + 40, В – Р + Г? Оно равно нулю. Итак, мы предъявили конкретный многогранник на торе, у которого Эйлерова характеристика равна нулю, а вовсе не двум. Из этого абсолютно неопровержимо и строго следует, что не существует непрерывного преобразования тора, взаимно однозначного непрерывного преобразования тора в футбольный мяч. Потому что при этом преобразовании конкретная вот эта вот... вот этот остов тора — он, естественно, так как мы ничего не разрезали, должен перейти в остов футбольного мяча, но как мы докажем в дальнейшем, я сейчас пока пользуюсь этой теоремой Эйлера, но в дальнейшем мы её докажем, у любого остова, который является футбольным мячом, у любой картинки, нарисованной на футбольном мяче, или у любого многогранника, из которого можно сделать футбольный мяч, В – Р + Г должно быть равно 2, а у этого остова В – Р + Г = 0. Поэтому невозможно преобразовать эту фигуру в эту, ибо вот этот остов перешел бы в остов, нарисованный на шаре, на поверхности шара, у которого В – Р + Г было бы равно 0.
