Практическое применение, теорема о неподвижной точке. Есть такая теорема Борсука-Улама, она говорит о следующем: возьмем сферу, то есть поверхность футбольного мяча, например, или поверхность Земли, как угодно, поверхность какого-то шара. Сферу математики называют S2. 2 - это размерность поверхности сферы, да, она двумерная, сфера она двумерная, ну как бы можно двигаться в 2 перпендикулярных друг другу направлениях, если говорить таким совсем понятным языком. И рассмотрим любое непрерывное отображение этой сферы на обычную плоскость, которую математики называют буковкой R с вот таким вот индексом 2, то есть двумерное пространство, плоскость - это двумерное пространство, опять же на плоскости бывает 2 перпендикулярных друг другу направления. А трех перпендикулярных направлений уже на плоскости не бывает. Для этого нужно в пространство выходить. Так вот, рассмотрим любое отображение сферы на плоскость, которое будет непрерывным, то есть которое близкие точки куда-то далеко не будет отсылать. Ну тут оно может как-то в результате у нас, ну как не знаю, сдули например футбольный мяч и кинули на плоскость, то что осталось от этого, какая-то такая сплющенная, сморщенная, но по крайней мере мы нигде не разрывали, поэтому это отображение будет непрерывным. Значит рассмотрим любое такое непрерывное отображение. Утверждение теоремы Борсука-Улама, сложное утверждение, которое мы никак не сможем доказать в этом вводном курсе, заключается в том, что какое-бы непрерывное отображение ни взять, всегда найдутся две противоположные точки на сфере, которые слипаются в одну и ту же точку на плоскости, то есть которые переходят вот здесь в одну и ту же точку. Если мы с этой камерой это проделаем, получится что, после того, как она смята, поверхность футбольного мяча смята, вот где-то будут две противоположные точки, которые лежат на одной и той же плоскости. Друг над другом просто лежат. Вот такая теорема. Практическое применение этой теоремы. Рассмотрим земную поверхность и в каждой точке померим температуру и давление. После чего рассмотрим наше отображение, которое каждой точки поверхности Земли, теперь это Земля, вот это вот, то, что я нарисовал, Земля. Поверхность Земли - это сфера. Каждой точке поверхности сопоставим точку на плоскости с двумя координатами, соответствующими. Вот здесь вот будет температура, а здесь давление. То есть просто точка на плоскости, ее же можно задать двумя координатами, двумя числами, мы зададим ее числами, равными температуре точки и давлению в этой точке, тогда мы конечно получим отображение сферы на плоскость. Что из этого следует? В силу теоремы Борсука-Улама? Из этого следует, что существует две противоположные точки Земли, которые переходят в одну и ту же точку на плоскости, а это означает, что в этих двух противоположных точках Земли будут одновременно совпадать и температура и давление. Чем я здесь воспользовался? Я воспользовался тем, что и температура и давление меняются медленно, невозможно такого допустить, что буквально в метре друг от друга находятся две точки, где там +5 и +2. Всегда переход медленный, то же самое и с давлением, то есть отображение непрерывное будет, вот такое построенное только что нами отображение из поверхности Земли на плоскость с двумя координатами температуры и давления, являются непрерывным по очевидным соображениям. А следовательно к нему применима теорема Борсука_Улама и значит в любой момент времени, в которое вы проводите измерение, в любой момент времени существуют две противоположные точки на Земле, в которых и температура одинакова и давление одинаково. Согласитесь, что ,вот, догадаться, что эта теорема верна, вот просто так совершенно невозможно, то есть представить себе, что это довольно сильное утверждение, что когда бы вы не измерили температуру и давление везде, например с Земли, всегда найдутся две такие точки. А математика утверждает, что это всегда так.