Давайте рассмотрим ещё одну задачу на чётность. Вот доска размером 8 на 8, из которой вырезаны два угловых квадратика. Требуется замостить её доминошками. Попробуем? В принципе, это ничему не противоречит на первый взгляд, потому что доминошка занимает два поля, а сколько полей у вот такой вот картиночки с вырезанными углами? 62. 62 на 2 делится, значит, по идее, по-крайней мере, можно попробовать. Давайте попробуем замостить. Посмотрим, что у нас из этого выйдет. Это сейчас мы пробуем решать задачу, как физики, экспериментируем, мы ставим эксперимент, физический способ решения задачи. Ну, как? Мы замощаем так, как кажется естественным в этой ситуации, вот такой вот. Угловые вертикально идут, остальные ставятся вот так. Тут у нас не получится, поэтому отсюда начнём. Не вышло. Плохо. Неправильно делали. Надо как-то по-другому, наверное, поступать. Может быть, отсюда начать как-нибудь, вот так, да? Надо как-то с умом замащивать, правильно? С умом. Ну, мы пытались замостить совершенно так, в лоб. Наверное, поэтому не получилось. Из нас плохие мостильщики этой картинки. Надо тренироваться. Надо потренироваться, и тогда у нас всё получится. Мы ставим следующий физический эксперимент. Первый эксперимент не удался, сейчас поставим второй физический эксперимент. Может быть, как-нибудь по-другому замостить нашу картиночку, и тогда всё удастся? Сейчас попытаемся это сделать. Раз, раз, вот так вот. Здесь поставим три фигурки, так. Хорошо. Одна, вторая, третья. Опять не получилось. Осталось два квадратика. Нет, наверное тогда вот так, вот так. Всё равно ничего не вышло, потому что остались вот эти два квадратика, как и в тот раз. Доминошка сюда не кладётся. Что-то не так! Как будет мыслить физик? Физик попробует провести экспериментальным путём установлено, что замостить эту картинку невозможно. Ну, конечно, это поклёп на физиков — физики не такие глупые. Но вот если мы проведём аналогию науки математики с наукой физикой, то в науке физике именно так обстоит дело в более сложных ситуациях, когда есть какой-то неизвестный закон природы, вот его много-много раз проверяют вот это будет работать только так и никак иначе. Математика отличается тем, что в математике можно что-то «железобетонно», строго доказать. Перебрать все варианты вообще, все варианты замощения доминошками вот этой доски в принципе невозможно, количество вариантов невозможно даже себе представить — сколькими способами я могу поставить первую доминошку на эту доску. Раз, два, три, четыре, пять, шесть, ну, в общем, количество таких способов слушатели могут сами попробовать точно посчитать, так или иначе, это несколько десятков. Это, даже я бы сказал, порядка сотни. Это только поставить первую. Для любого из этих способов вторая ставится ещё примерно таким же количеством, может быть, немножко только меньшим числом способов на доску. Перебрать уже всевозможные пары появления первых двух домино уже довольно сложно, это там несколько тысяч вариантов. Когда я добавляю третью, четвёртую, пятую, каждый раз я умножаю количество способов на то количество, которым можно поставить очередную доминошку, то есть я умножаю огромные числа друг на друга очень-очень много раз. В результате, на самом деле, если грубо оценить, очень грубо оценить количество способов расстановки доминошек на доске, будет число как, допустим, количество молекул, количество атомов во всем мире, во всей Вселенной. Что-то в этом духе, а, может, и ещё больше. То есть понятно, что перебрать все такие варианты невозможно. Если когда-нибудь компьютеры станут такие сильные, что смогут их перебирать, ну, вот, смотрите, мы эту задачу решили полным перебором всех вариантов, но на данный момент компьютеры такую задачу не возьмут, поэтому надо что-то придумать. Надо придумать опять какой-то инвариант. Но так как у нас задача про чётность, значит, нужно придумать что-то, что похоже на ситуацию чёт-нечет. Как же мы будем поступать? А что, вообще, такое — вот такая доска? Что это такое? Можно себе представить, что доска 8 на 8 — это шахматная доска. И тогда у нас появляется идея — а давайте покрасим её в шахматные цвета. То есть представим себе настоящую шахматную доску, раскрашенную в чёрные и белые клетки, с вырезанными двумя квадратиками, то есть вот такую. И теперь давайте обнаружим один очень важный факт. Любая доминошка, как бы она ни стояла на этой доске, обязательно занимает ровно одну белую и ровно одну чёрную клетку. Мы не можем положить доминошку одновременно на две чёрных или на две белых клетки. Это в принципе невозможно, это совершенно очевидно. Поэтому если мы смогли полностью всё замостить, если на секундочку представить, что нам это удалось, то количество чёрных и белых клеток вот в этой шахматной доске с вырезанными углами должно быть одинаково. Мы положили 31 доминошку, каждая заняла белую и одну чёрную. Одну белую, одну чёрную клетку. Значит, всего должно быть 31 белая и 31 чёрная клетки. Но дело в том, что по углам вырезаны две белых клетки. Поэтому на данной шахматной доске чёрных клеток на две больше. И именно это и есть причина, что когда мы завершаем замощение, как бы мы ни пытались замощать, всегда будет оставаться две именно чёрных клетки. Вы, наверное, спросите меня — ну это какое-то странное доказательство, потому что это я сам выбрал такую раскраску, у исходной доски никакой раскраски-то не было. А я взял как-то её покрасил и сказал: ну, вот раз, видите, я покрасил, как хотел, но получилось так, что невозможно. Но что? То, что невозможно, я смог продемонстрировать тем, что правильно выбрал покраску. Если я покрасил бы как-то иначе, то, может быть, не удалось бы решить задачу. Ну и, значит, соответственно, вопрос в том, что это такое искусство — правильно покрасить. Вот это очень похоже на типичную математическую ситуацию. В математике искусство — это выдумать какую-нибудь конструкцию, может быть, даже совершенно невероятную на первый взгляд. Когда мы вернёмся к «пятнашкам», там будет очень непростая конструкция. Всегда возникают вопросы, а почему именно с помощью такой конструкции надо доказывать, что невозможно в игре «15» поменять две фишки местами. Математик, который что-то доказал, — это как победитель, которого не судят. Что хочу, то и делаю. Я хочу и раскрашиваю так. Если это мне помогает доказать то, что я желаю доказать, то никто меня больше не осудит. а почему вы раскрасили именно так? А вот хотел и раскрасил. Вот я раскрасил по-шахматному и увидел, что обязательно остаются две чёрные клеточки. А если бы я иначе раскрасил, может быть, я бы и ничего не увидел. Но достаточно хоть одним каким-то способом раскрасить, чтобы это увидеть, и вы понимаете, что да, конечно, замостить невозможно никаким способом, потому что оставшиеся две чёрные клетки ни одна доминошка не покроет. Вот вам полное решение задачи.
