Курс состоит из нескольких жизненных сюжетов, каждый из которых разбирается "по косточкам" и, как выясняется, содержит внутри себя нетривиальное математическое ядро. Это ядро далее также бьётся на "элементарные частицы" - так, что у слушателей возникает понимание всех глубинных механизмов рассматриваемой ситуации.
Сюжеты сгруппированы по смыслу: каждая группа сюжетов вращается вокруг одной и той же основополагающей математической идеи. Таких идей всего пять: инвариант, шаг через бесконечность, непрерывность физических процессов, самоподобие природы и нашего её восприятия, и, наконец, алгебраическая природа различных чисел.
Курс предназначен для всех, кто хочет лучше представлять себе тот мир, в котором мы живём. Не имея никаких предварительных знаний, слушатели будут введены в курс дела: какая техника используется в математике ("абсолютное доказательство" как главное отличие математического знания от любого иного) и как строить рассуждения.
Вскоре выйдет вторая часть, "Математика для энтузиастов", которую нужно будет уже изучать "с листочком бумаги и ручкой в руках". В ней встретится более нетривиальный материал, в том числе "приводные ремни" современной математики - "группы" и "поля". Кроме того, будут вскрыты весьма нетривиальные подоплёки многих школьных задач.
Курс состоит из 6 недель и 6 контрольных работ по окончании каждой недели. Для успешного прохождения курса необходимо успешно преодолеть все 6 испытаний.
Из урока
Бесконечность
На третьей неделе вы научитесь суммировать ряды и узнаете, что бывают разные бесконечности!
Доктор физико-математических наук Кафедра дискретной математики МФТИ
Бычков Борис Сергеевич
Кандидат физико-математический наук, младший научный сотрудник международной лаборитории теории представлений и математической физики НИУ ВШЭ Кафедра дискретной математики
Возможно, у некоторых слушателей возникает впечатление,
что любая бесконечная сумма слагаемых будет равна бесконечности.
Но это не так.
Предположим, что у кузнечика Тима кроме друга, кузнечика Бори,
есть еще младший брат.
Назовем его кузнечик Петя.
И наш кузнечик Петя, младший брат кузнечика Тима,
вначале на один шаг, потом на одну четверь,
потом на одну девятую и так далее, то есть на обратные квадраты.
И, следовательно, мы изучаем вопрос о том,
насколько далеко он пропрыгает,
то есть математически вопрос о том, существует ли какая-то единая граница
для любых конечных отрезков такого бесконечного ряда.
Или же этот ряд тоже может стать больше любого числа,
больше сотни, больше тысячи.
Так вот, сейчас, с помощью геометрической наглядной иллюстрации,
мы покажем, что вся эта бесконечная сумма меньше двух.
То есть не только речь не может идти о тысячах, там, миллионах или сотнях,
а просто, что все бесконечные скачки, бесконечное количество скачков
вот этого кузнечика,
они все суммарно все равно не уведут его дальше числа 2.
То есть он обречен на то, чтобы находиться внутри этого отрезка
все время своих прыжков.
Доказательство.
Рассмотрим все его скачки,
кроме первого,и расположим их внутри
одного большого квадрата, интерпретируя эти скачки,
вот эти вот скачки, интерпретируя
не как длины каких-то отрезков, а как площади некоторых квадратиков.
Такой прием, наглядный, нам поможет установить, что площади,
вот эти все площади, все эти квадратики,
можно будет уместить в одном и том же большом квадрате,
тем самым, естественно, что суммарная эта площадь меньше,
чем площадь вот такого квадрата со стороной 1.
Давайте отметим здесь его стороны и приступим к доказательству.
Разделим квадрат на две равные части, две полосы.
Тогда половина верхней полосы имеет размер 1/2 на 1/2,
и, соответственно,
площадь в точности равную второму скачку нашего кузнечика Пети.
Итак, по площади второй скачок умещается сюда.
А третий скачок?
А третий скачок умещается сюда.
Потому что он по площади равен 1/9,
то есть он равен площади квадрата со стороной 1/3,
и значит, он еще меньше, чем предыдущий,
и спокойно разместится в площади, отводимой предыдущему,
и даже останется какое-то количество незаполненной территории.
Теперь мы приступим к следующему участку такого ряда.
Для этого отметим, что 1/16
это площадь квадрата размером 1/4 на 1/4.
Поэтому если мы поделим ровно на две полосы всю нижнюю полосу,
которая у нас еще остается свободной,
то 1/16 — это площадь вот такого маленького квадратика,
1/4 на 1/4.
Заштрихуем ее, а остальную часть полосы
разделим еще на три равные части.
Все они равны площади вот этого квадрата.
И совершенно ясно, что шаг 1/25 по площади
равен квадрату со стороной 1/5,
поэтому уместится сюда.
Шаг 1/36, следующий, это площадь квадрата со стороной 1/6,
и шаг 1/49 это площадь квадрата со стороной 1/7.
А что дальше?
А дальше будет шаг 1/64,
который есть площадь квадрата со стороной 1/8,
то есть как раз половина (опять, заметьте, половина)
оставшейся незаполненной полосы.
И поэтому если я теперь разделю на восемь частей
вот эту следующую полосу,
то я превосходно умещу в ней следующие восемь шагов.
Заметьте, что метод очень похож на метод доказательства того,
что наш кузнечик Тим ускакал в бесконечность,
но в данном случае, наоборот,
мы доказываем, что кузнечик Петя никуда не ускачет дальше двойки,
потому что вот, пожалуйста,
здесь умещается восемь разных прыжков нашего кузнечика,
следующих восемь прыжков.
1/64, 1/81 и так далее,
вплоть до 1/225, то есть 1/15 на 1/15.
Мы все их сможем уместить вот в эти квадратики,
а прыжок 1/256
опять будет в точности равен площади совсем уж маленького квадратика,
которых в этой полосе уложится 16.
Заметим, что у нас нет никаких препятствий к тому,
чтобы продолжать это построение до бесконечности,
поэтому абсолютно все квадраты уместятся внутрь квадрата 1 на 1,
и, следовательно, сумма эта,в отличие от
суммы гармонического ряда, является конечной,
то есть равна какому-то числу.
Любопытный, но очень сложный факт,
доказанный великим математиком Леонардом Эйлером,
которого мы уже упоминали,
состоит в том, то вот эта вся бесконечная сумма,
Эйлер доказал,что сумма
1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + + 1/25 + и так далее,
до самой бесконечности,
в точности равна числу π в квадрате разделить на 6,
где π — это хорошо известное со времен школы число,
равное половине длины окружности, у которой радиус равен единице.
Так вот, Эйлер связал это число π с суммой этого ряда.
Оказывается, сумма этого ряда равна π в квадрате делить на шесть.
Вот такой загадочный, мистический факт.
Вообще, такие факты совершенно удивительные,
они следуют из достаточно кропотливой работы,
в науке называемой «математический анализ».
Так или иначе, этот ряд — конечный, в отличие от гармонического.
Тем самым, существуют бесконечные суммы,
которые к чему-то конечному суммируются,
а существуют и бесконечные суммы, которые уходят на бесконечность.
Ознакомьтесь с нашим каталогом
Присоединяйтесь бесплатно и получайте персонализированные рекомендации, обновления и предложения.
Савватеев Алексей ВладимировичДоктор физико-математических наук
Бычков Борис СергеевичКандидат физико-математический наук, младший научный сотрудник международной лаборитории теории представлений и математической физики НИУ ВШЭ
