Возможно, у некоторых слушателей возникает впечатление, что любая бесконечная сумма слагаемых будет равна бесконечности. Но это не так. Предположим, что у кузнечика Тима кроме друга, кузнечика Бори, есть еще младший брат. Назовем его кузнечик Петя. И наш кузнечик Петя, младший брат кузнечика Тима, вначале на один шаг, потом на одну четверь, потом на одну девятую и так далее, то есть на обратные квадраты. И, следовательно, мы изучаем вопрос о том, насколько далеко он пропрыгает, то есть математически вопрос о том, существует ли какая-то единая граница для любых конечных отрезков такого бесконечного ряда. Или же этот ряд тоже может стать больше любого числа, больше сотни, больше тысячи. Так вот, сейчас, с помощью геометрической наглядной иллюстрации, мы покажем, что вся эта бесконечная сумма меньше двух. То есть не только речь не может идти о тысячах, там, миллионах или сотнях, а просто, что все бесконечные скачки, бесконечное количество скачков вот этого кузнечика, они все суммарно все равно не уведут его дальше числа 2. То есть он обречен на то, чтобы находиться внутри этого отрезка все время своих прыжков. Доказательство. Рассмотрим все его скачки, кроме первого,и расположим их внутри одного большого квадрата, интерпретируя эти скачки, вот эти вот скачки, интерпретируя не как длины каких-то отрезков, а как площади некоторых квадратиков. Такой прием, наглядный, нам поможет установить, что площади, вот эти все площади, все эти квадратики, можно будет уместить в одном и том же большом квадрате, тем самым, естественно, что суммарная эта площадь меньше, чем площадь вот такого квадрата со стороной 1. Давайте отметим здесь его стороны и приступим к доказательству. Разделим квадрат на две равные части, две полосы. Тогда половина верхней полосы имеет размер 1/2 на 1/2, и, соответственно, площадь в точности равную второму скачку нашего кузнечика Пети. Итак, по площади второй скачок умещается сюда. А третий скачок? А третий скачок умещается сюда. Потому что он по площади равен 1/9, то есть он равен площади квадрата со стороной 1/3, и значит, он еще меньше, чем предыдущий, и спокойно разместится в площади, отводимой предыдущему, и даже останется какое-то количество незаполненной территории. Теперь мы приступим к следующему участку такого ряда. Для этого отметим, что 1/16 это площадь квадрата размером 1/4 на 1/4. Поэтому если мы поделим ровно на две полосы всю нижнюю полосу, которая у нас еще остается свободной, то 1/16 — это площадь вот такого маленького квадратика, 1/4 на 1/4. Заштрихуем ее, а остальную часть полосы разделим еще на три равные части. Все они равны площади вот этого квадрата. И совершенно ясно, что шаг 1/25 по площади равен квадрату со стороной 1/5, поэтому уместится сюда. Шаг 1/36, следующий, это площадь квадрата со стороной 1/6, и шаг 1/49 это площадь квадрата со стороной 1/7. А что дальше? А дальше будет шаг 1/64, который есть площадь квадрата со стороной 1/8, то есть как раз половина (опять, заметьте, половина) оставшейся незаполненной полосы. И поэтому если я теперь разделю на восемь частей вот эту следующую полосу, то я превосходно умещу в ней следующие восемь шагов. Заметьте, что метод очень похож на метод доказательства того, что наш кузнечик Тим ускакал в бесконечность, но в данном случае, наоборот, мы доказываем, что кузнечик Петя никуда не ускачет дальше двойки, потому что вот, пожалуйста, здесь умещается восемь разных прыжков нашего кузнечика, следующих восемь прыжков. 1/64, 1/81 и так далее, вплоть до 1/225, то есть 1/15 на 1/15. Мы все их сможем уместить вот в эти квадратики, а прыжок 1/256 опять будет в точности равен площади совсем уж маленького квадратика, которых в этой полосе уложится 16. Заметим, что у нас нет никаких препятствий к тому, чтобы продолжать это построение до бесконечности, поэтому абсолютно все квадраты уместятся внутрь квадрата 1 на 1, и, следовательно, сумма эта,в отличие от суммы гармонического ряда, является конечной, то есть равна какому-то числу. Любопытный, но очень сложный факт, доказанный великим математиком Леонардом Эйлером, которого мы уже упоминали, состоит в том, то вот эта вся бесконечная сумма, Эйлер доказал,что сумма 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + + 1/25 + и так далее, до самой бесконечности, в точности равна числу π в квадрате разделить на 6, где π — это хорошо известное со времен школы число, равное половине длины окружности, у которой радиус равен единице. Так вот, Эйлер связал это число π с суммой этого ряда. Оказывается, сумма этого ряда равна π в квадрате делить на шесть. Вот такой загадочный, мистический факт. Вообще, такие факты совершенно удивительные, они следуют из достаточно кропотливой работы, в науке называемой «математический анализ». Так или иначе, этот ряд — конечный, в отличие от гармонического. Тем самым, существуют бесконечные суммы, которые к чему-то конечному суммируются, а существуют и бесконечные суммы, которые уходят на бесконечность.
