До сих пор мы изучали непрерывные процессы и делали какие-то выводы на основании непрерывности тех или иных функций. Более того, как я отметил, в принципе, все природные процессы они происходят непрерывно вплоть до того, что даже удар мяча об стену — это тоже непрерывный процесс, если сильно-сильно замедлить съемку. Однако в теории соударения используется другая модель. Используется модель, в которой скорость мяча меняется резко. Скачком. Такая модель просто более адекватна для описания последствий различных многих соударений, и в этом смысле математике нужно разрабатывать модели некоторых разрывных процессов для описания определенных аспектов реальности, которые больше похожи на разрывные процессы, чем на непрерывные, несмотря на то, что формально они тоже являются непрерывными. Поэтому давайте приведем пример какой-нибудь разрывной функции, конкретной функции, которая имеет разрывный вид, и нарисуем её график. В школе изучаются такие две функции: целая часть числа и дробная часть числа. Давайте нанесем на график — вот здесь будет число, здесь — целая часть, а на нижнем графике нанесем дробную. [ЗВУК] Как выглядит график функции «целая часть»? Нам нужно отложить целые числа: 1, 2, 3 и так далее. −1, −2 и так далее. В пределах от нуля до единицы, причем ноль включается, а единица не включается — целая часть всё время равна нулю. А потом она скачком перепрыгивает на единицу. И в течение следующего вот этого полуинтервала её значение равно единице. В точке 2 она перескакивает сюда, и вплоть до трёх целая часть числа будет равна двум. И так далее. График будет состоять из таких вот площадочек, которые будут подпрыгивать одна за другой в целых числах. Разрывный график — этот процесс не является непрерывным, как бы близко мы ни отступили от единицы налево, а функция сразу скачет на целую единицу вниз. Поэтому мы не можем сказать, что близкие точки переходят в близкие значения. Сколь угодно близкая к единице точка будет давать значения целой части, равной нулю, а в самой единице у нас получается целая часть уже равна единице. И что тут можно сказать? Что не работает принцип промежуточного значения. Во многих предыдущих задачах мы использовали следующее свойство непрерывной функции: что если она принимает какие-то два значения, то она принимает и все промежуточные значения. Функция «целая часть» принимает значения 0 здесь и 1 здесь. Принимает, да. Но она не принимает никакого промежуточного значения: ни значения 1/3, ни значения 1/2, ни значения 2/3. Она скачком меняется отсюда сюда. Вот, и соответственно, если какой-то процесс описывается таким образом, мы уже не можем применить этот принцип непрерывности. Похожим образом выглядит дробная часть. Похожим — в смысле разрывов. Что такое дробная часть? Для любого числа дробная часть лежит между нулем и единицей. Это такая пила. График этой функции — это такая пила. сумма двух этих графиков должна равняться функции, линейной функции y = x, то есть диагонали вот этого вот квадрата. Ну и видно, что если вычесть из этой функции вот эти площадочки, у нас получится вот такая вот пила внизу. Эта пила принимает все значения между нулем и единицей, если брать единицу в нестрогом смысле. То есть ноль принимает значения, все значения интервала (0, 1), но вот уже значение единица никогда не принимает. можно заметить, что, скажем, вот в этой точке, близкой к единице слева, дробная часть примерно равна единице, чуть-чуть меньше неё, а в точке, близкой к единице справа, дробная часть числа, наоборот, близка к нулю. И между этими двумя значениями вот на этом промежутке не принимаются никакие значения этой функции. Потому что с той стороны это будет подходить к единице, потом сразу соскочит на ноль, и опять не будет верна теорема о промежуточном значении. Вот это иллюстрация того, что прежде чем вы используете какие-то фундаментальные результаты, связанные с непрерывностью, вы должны проверить, что функции, с которыми вы имеете дело, являются функциями непрерывными.