Следующая наша тема, связанная с непрерывностью, это определение предела. Мне кажется, что каждому человеку полезно в нем разбираться. Давайте я объясню, что такое предел. Для начала на пальцах. Есть некоторая функция. Она зависит от какого-то аргумента, неважно как этот аргумент назвать, x, y, t, ε – как хотите. И мы изучаем её поведение в окрестности какой-нибудь особенной точки, особенной по признакам задачи, которую мы изучаем. Ну, например, мы можем пытаться узнать её асимптотику, что с ней происходит где-то в районе бесконечности, где-то очень далеко от начала координат. Ну, если она неограниченно возрастает, то тогда да, мы скажем, что она стремится к бесконечности. Вот как придать этому точный смысл? Ну, давайте более простую задачу будем решать: как придать точный смысл тому, что она не стремится к бесконечности, а приближается к какому-то числу? Неограниченно приближается, то есть график — вот так идет-идет-идет, ну и вот он где-то там стабилизируется, постепенно становится всё ближе и ближе к какому-то определенному значению. Он никогда это значение не достигнет в пределах конечных значений x. Но вот как сказать, что как бы в бесконечности он в него войдет? Как это сказать формально? Другая задача, связанная с пределами, связана с поведением около нуля в том случае, если функциональная форма не позволяет просто взять и подставить 0. Ну, чтобы не быть голословным, например, сверху написано синус x, а снизу написано x. Вот такая функция, если написана у нас, это такое даже специальное имя есть в математике у этой функции, у её предела, то есть у её значения в нуле, которое просто так считать нельзя явно, если я подставлю сюда x = 0, то сверху будет ноль и снизу будет ноль. Ноль на ноль; ну, ноль на ноль – это что-то совершенно неопределенное. Вообще делить на ноль нельзя. Ноль если делишь на ноль, может получиться любое число, то есть здесь нет понимания-- Грубо говоря, если мы будем отклоняться чуть-чуть вправо от нуля, брать, там x = 0,001 или 0,000 001, вот так сразу сказать, будет ли функция стабилизироваться при неограниченном приближении икса к нулю вокруг какого-то числа, – прямо сразу сказать нельзя. Вот хочется дать какие-то формальные определения, то есть, что означает, что предел вот этой функции в нуле равен какому-то числу. Или что значит, что предел вот этой вот функции в бесконечности равен какому-то числу. Ну вот я хочу дать формальное определение пределов. Значит, итак, говорим, что предел при x стремится к плюс бесконечности функции f равен некоторому числу (я его здесь нанёс), некоторому числу, ну, например A, давайте его назовем A. Так вот, говорим, что предел равен A, если для любой точности Ε (эпсилон) вычисления вот этого числа A, с любой точностью, с которой мы можем вычислить число A, мы можем его вычислить путем выбора надлежащего при увеличении x, достаточно большого числа x, то есть для любой точности Ε вычисления A существует такой рубеж x с чертой), рубеж x с чертой, что при любом, давайте я даже математический тут использую значок «при любом». Вот это «для любого» в математике вот таким образом пишут. Для любого значения x, большего, чем x с чертой, значение нашей функции нарисованной лежит уже в интервале от A − Ε до A + Ε. То есть действительно значение удовлетворяет тому, что оно вычислено с точностью, не меньше, чем Ε. То есть наше значение лежит в этом интервале, значит, примерно равно A с точностью до Ε. И вот мы говорим, что предел равен A при x стремится к бесконечности ровно в этих условиях, то есть, когда мы можем вычислить с любой точностью, просто стартуя с некоторой точки, вот стартуя с x с чертой направо, все значения будут уже вот в этом вот диапазоне лежать. Вот у нас есть диапазон между A + Ε и A − Ε. И вот в этом диапазоне будут уже лежать все значения. То есть весь график будет вписан в эту «трубу», так сказать. И это для любого Ε. То есть, если я уменьшу диапазон, хочу с еще большей точностью вычислить, я могу другое какое-то найти еще большее значение рубежа, справа от которого уже вот в такой, совсем узкой трубе, будет график жить. Ну и вот так вот до бесконечности для любого. Это и есть формальное определение предела. О том, как мы определяем предел в этом случае, мы поговорим в следующий раз.