То, что я сейчас расскажу, — это венец абстрактной математики XIX века. Теорема Кантора. Никакое множество, ни конечное, ни бесконечное, не может быть поставлено во взаимно-однозначное соответствие с множеством своих подмножеств. То есть вот этот пример, когда было три человека и восемь подмножеств из этих трех людей различных, и очевидно, что между 3 и 8 нельзя построить взаимно-однозначное соответствие, он распространяется и на бесконечные множества тоже. Тем самым есть различные бесконечности, потому что понятно, что если у нас бесконечное количество элементов, то подмножеств из них тем более бесконечно. Так вот Кантор доказал, что нельзя установить взаимно-однозначное соответствие, тем самым можно точно совершенно сказать, что это множество больше этого. Ну потому что это-то внутри этого, конечно, живет. Здесь есть все одноэлементные подмножества, состоящие просто из отдельных этих жителей и больше никого. Так вот, эту теорему мы сейчас с вами строго докажем приемом, который называется «от противного», как и многое, что мы уже здесь с вами делали. Итак, вслед за Кантором пускай существует взаимно-однозначное соответствие. Вот это, между прочим, значок в математике, который обозначает существование. Говорят «существует» и перевернутую Е рисуют. Существует соответствие. Давайте назовем его вот так, буковкой Ψ. Имя ему дадим. Вот такое соответствие между A и подмножествами. Тем самым, что это означает? Что каждому элементу отсюда ставится в соответствие какое-то подмножество элементов из A. И наоборот, любое подмножество имеет такой свой прообраз здесь в виде какого-то элемента, то есть любое подмножество названо именем какого-то из вот этих. В частности, пустое подмножество как-то называется там, всё множество как-то называется и т.д. И это взаимно-однозначно. То есть здесь все элементы перебраны, и все подмножества по одному тоже перечислены. Итак, это предположение. Мы сейчас докажем, что это приводит к видимому, явному противоречию, получающемуся совершенно неожиданным образом. А именно, тогда рассмотрим такое свойство. Свойство элемента отсюда. Свойство состоит в том, что этот элемент содержится в том подмножестве, к которому он приписан, вот этому Ψ. То есть значит, некоторые элементы из A принадлежат своим подмножествам, а некоторые не принадлежат. Рассмотрим множество B, назовем его B. Это будет часть A, то есть некоторые из элементов множества A. Какое-то подмножество в A. Так вот это множество состоит (сейчас я по-математически запишу) из таких элементов множества A. Смотрите, это вот тоже математическая запись. Это множество, это обозначение принадлежности, что вот этот элементик, мы его обозначили, ему дали имя, имя — a. И написали, что a принадлежит A. Ну просто это какой-то элемент этого множества. Мы теперь рассматриваем все такие элементы из этого множества. Это вместо того, чтобы сказать «такие, что». То есть это такая математическая запись сокращает нам проговариваемое нами вслух. что рассмотрим все такие элементы из A, что они не принадлежат тем подмножествам, которым поставлены в соответствие. То есть каждому отсюда ставится здесь подмножество, так вот я собрал все отсюда, которые не принадлежат своим собственным подмножествам. Теперь ключевой шаг. Вот это тоже какое-то подмножество внутри A. А значит, у него есть тоже свое имя здесь. Так как это взаимно-однозначное соответствие, то существует такой элемент b из A, что ему с помощью соответствия Ψ поставлен как раз, ему помечен здесь, подмножество B помечено. То есть ему соответствует B при нашем взаимно-однозначном соответствии. Оно переходит, так сказать, в B. То есть элемент B — это имя вот этого подмножества, состоящего из тех элементов A, которые не принадлежат своим подмножествам. Так вот, Кантор задает вопрос. Кантор задал следующий вопрос: b принадлежит Ψ(b) или нет? Или b не принадлежит Ψ(b)? Правда ведь, что должно быть верно одно из двух? Про любой элемент множества A и про любое подмножество множества A можно спросить, либо элемент принадлежит ему, либо он ему не принадлежит. Поэтому верно одно из двух. Так вот Кантор показывает, что не верно ни то, ни это строго по построению, посмотрите. Если бы b принадлежал своему собственному подмножеству, которому он вот соответствует, а подмножество, заметим — это вот оно, оно определено вот так. Если б b принадлежал бы этому подмножеству, значит, он был бы одним из таких элементов множества A, которые не принадлежат своему подмножеству. То есть получается, если он принадлежит Ψ(b), значит, он не принадлежит Ψ(b). С другой стороны, если бы он наоборот не принадлежал своему подмножеству, то он бы внутри этого подмножества, да? Внутри него он бы, значит, попал внутрь него, да? То есть если b не принадлежит Ψ(b), то он соответствует определению множества B. Но раз он соответствует, то он ему принадлежит. То есть получается, что мы строго логически вывели, что если он принадлежит Ψ(b), то он не принадлежит Ψ(b), а если он не принадлежит Ψ(b), то он должен принадлежать Ψ(b). В этом месте проходит грань. «Я это никогда не пойму», он не математик, и ничего с этим нельзя сделать. Либо человек проедет это утверждение, и тогда можно сказать: «Его можно учить математике дальше», либо человек здесь остановится, бросит всё, заплачет и скажет: «Нет, это не моя наука, она просто выше меня. Я ничего не могу сделать со своей головой, чтобы понять это рассуждение». Вот я стремлюсь к тому, чтобы как можно больше людей здесь не сдались. Это чисто логическое доказательство, чего? Раз мы получили какой-то абсурд на выходе? Что за абсурд? Абсурд состоит в том, что не может быть верно ни одно, ни другое. Не может быть верно, что b принадлежит своему подмножеству, но также не может быть верно, что оно не принадлежит. Но это противоречит чему? Это просто противоречит тому, что в принципе существует такое взаимно-однозначное соответствие, потому что иначе вся конструкция верна. Поэтому в этом доказательстве «от противного» к противоречию приведен именно факт существования. А значит, такого соответствия не существует, и, следовательно, бесконечности бывают разные.
