Итак, почему же всё-таки эти две поверхности разные? По размышлению о том, как бы вы стали убеждать в этом инопланетянина, возникает следующая идея: возьмем веревочку, ниточку, трубочку и завяжем вот здесь вокруг дырки, у тора. Теперь я беру и поднимаю, вот так вот поднимаю тор на этой веревке. Веревка вдоль тора едет беспрепятственно, можно её вот так вот перемещать, она не приклеена, её можно перемещать вдоль поверхности тора. Но снять её с тора вы не можете никак. Если вы её поднимаете, вы поднимаете вместе с ней весь тор. И совершенно понятно, по крайней мере, при нашем житейском опыте, что если теперь у нас удалось бы, получилось из тора сделать футбольный мяч, то тогда веревка перешла бы в какую-то веревку, намотанную на футбольный мяч. То есть при преобразовании непрерывном тора в футбольный мяч веревка бы стала веревкой на футбольном мяче, за которую тоже можно было бы тем самым поднять футбольный мяч. Но совершенно очевидно, что как бы вы ни завязали веревку вокруг футбольного мяча, если вы не приклеиваете, то мяч с неё соскакивает. То есть, таким образом, поднять футбольный мяч, ну вот так аккуратно, если вы вот так, может быть, поднимете, но она все равно соскочит. То есть при шевелении этого мяча он с неё соскакивает. Вы не можете вот так вот поднять прочно на веревке футбольный мяч, как вы это делали с тором. Это доказательство или нет? Ну это похоже на какое-то убедительное рассуждение, которое годно всё-таки для человека, у которого трёхмерное воображение. Если наш инопланетянин является таким же трёхмерным существом, как мы, то, наверное, он поверит. А вот теперь представьте себе, что вы вот это всё пытаетесь объяснить умному пауку — двумерному пауку. Вот у вас паук, и он бегает по поверхности футбольного мяча. Для него, этого паука, поверхность футбольного мяча — это его мир. ни внутренности, ни наружности. И этот паук, он двумерный. Всё. Он не может вот этого увидеть, вот эту картинку, как вы поднимаете. Если он бегает по вот этому тору, для него что тор, что футбольный мяч — одно и то же. То есть он не видит разницы, и ему, чтобы доказать что-то, даже если это такой умный, мыслящий паук, если это двумерный паук-инопланетянин, то для доказательства, что это разные объекты, ему нужны какие-то более убедительные свидетельства, которые он сам может взять и проверить. И вот здесь мы переходим, как раз к инварианту, связанному с комбинаторными данными о сшивке. То есть вот футбольный мяч. Давайте посмотрим на тот многогранник, который получится, если мы нарисуем на футбольном мяче все швы. Получится многогранник, состоящий из 20 шестиугольников и 12 пятиугольников, как граней, ну и в каждой вершине сходятся три ребра, и к каждому ребру, соответственно, у нас вот приставляется две грани. а вообще какие бывают многогранники? Может, мы попробуем угадать какой-то инвариант у произвольного многогранника, такой, что вот все многогранники, составляющие футбольный мяч, имели одно и то же значение этого инварианта, а все многогранники, которые составляют поверхность тора, будут иметь тогда другое значение инварианта. И вот это будет строгим доказательством. Итак, какая наша сейчас программа действий? нам нужно угадать что-то общее, что есть у всех многогранников, являющихся остовом футбольного мяча, то есть топологического шара, и что-то общее у всех многогранников, которые являются остовом тора, то есть камеры от машины, и убедиться в том, что здесь и здесь это общее имеет различные значения, и тогда это будет строгое доказательство того, что два объекта различны. Давайте теперь возьмем некоторое количество многогранников, которые мы хорошо знаем с детства. Что это такое? Это трубогранник — многогранник, составленный из труб, в который продета леска. Я специально использовал такие трубогранники, потому что я хочу подчеркнуть, что для топологии неважна вот эта вот жесткость, что я не могу изменить форму у настоящего куба. Если б я сделал его из железной проволоки, мне трудно было бы его погнуть, особенно если проволока была бы прочной, а трубогранник — он, пожалуйста, вот так гуляет туда-сюда, но всё равно во всех его видоизменениях мы угадываем комбинаторную структуру куба. Трубогранники, между прочим, изобрел наш с вами соотечественник — молодой питерский математик Борис Миронов. Давайте возьмем еще несколько трубогранников, тоже хорошо известных любителям математики. И те, кто изучали платоновские тела, понимают, что здесь не хватает ровно одного, а именно додекаэдра. Но давайте посмотрим на четыре имеющихся и изучим, есть ли у всех этих четырех фигур... А ясно, что они все представляют поверхность мяча. Если я вставлю насос внутрь каждой из этих фигур и надую и представлю себе, что они пленочкой такой покрыты, то есть каждая грань. Топологически грань — это просто какой-то лоскуток ткани, который можно просто положить на плоскость. И они вот так, с помощью этих труб склеены, что если я надуваю каждый из них получается футбольный мяч, независимо от того, какой из них я беру. И вот у них что-то есть общее, и это же что-то общее должно быть и у сложного многогранника, из которого составлен обычный футбольный мяч, то есть многогранника из 20 шестиугольников и 12 пятиугольников. Что же это такое?
