Вот одна из иллюстративных игр, которую мы, прежде всего, решим.
Есть три кучки бумажек.
В первой кучке одна бумажка, в следующей — две, в последней — три.
Требуется уравнять кучки в количестве бумажек.
Разрешенное действие — это взять две бумажки
дополнительных и положить в произвольные две кучки.
Например, одну сюда и одну сюда.
Получилось уравнять? Нет, не получилось.
Два, три, три.
Так, давайте попробуем еще как-нибудь.
Давайте здесь сделаем три, но тогда здесь возникнет четыре.
Но вот после этого уже мы уравнять сможем.
Здесь четыре и здесь четыре. Вот мы уравняли.
одна, две и три бумажки,
то у нас эта задача решилась.
Всё отлично. В три действия мы решили.
Мы, правда, не смогли довести до трех в каждой куче,
но до четырех — без проблем.
Задача. Есть шесть куч.
То есть та же самая задача, только кучек шесть.
В первой одна, во второй две, потом три,
четыре, пять, шесть бумажек.
Требуется уравнять количество бумажек
в каждой кучке по тем же самым правилам.
Ну, давайте попробуем. Шестую сюда, пятую сюда.
Допустим, вторую сюда, третью сюда. Еще раз, третью сюда, четвертую сюда.
сюда четвертую, сюда тоже четвертую.
Четыре, четыре, четыре, пять, шесть, шесть.
Так. Доведем до пяти. Здесь уже по пять, здесь еще четыре.
Пять, шесть. Шесть, шесть.
Так, что у нас есть?
Пять, шесть, шесть, шесть, шесть, шесть.
Придется поднимать до семи, потому что сюда мы должны
довести до шести, значит какую-то кучу придется поднимать до семи.
Тогда надо до семи поднимать все. Поднимаем.
Теперь в одной куче шесть, в остальных семь.
Начинает возникать ощущение, что сделать это нельзя.
Как это доказать?
Давайте обратим внимание на следующее обстоятельство.
Когда вы добавляете
в какие-то две кучки по одной бумажке,
вы увеличиваете суммарное количество бумажек на всей картине на два.
А что это означает?
Это означает, что вы не меняете четности количества бумажек.
С самого детства, когда мы экспериментировали
со сложением чисел, мы обнаружили, что есть такие числа,
2, 4, 6, 8, 10 и так далее.
Они четные называются.
А есть числа 1, 3, 5, 7 и так далее,
они называются нечетными, тоже идут через два.
И если вы складываете любое четное число с любым нечетным,
то результат всегда будет числом нечетным.
То есть нам не нужно точно знать, какие числа вы складываете,
если на выходе нужно знать только результат в смысле четности.
Можно даже составить такую условную таблицу сложения «Чет – нечет».
Если мы складываем два четных числа, получается четное.
Если мы складываем четное с нечетным,
то получается всегда нечетное.
И если мы складываем любые два нечетных числа,
то в ответе всегда получается четное число.
Это правило многие из нас знают с самого детства.
То есть, какова четность была в начале,
она и будет все время сохраняться.
При разрешенных действиях вы эту четность не меняете.
Поэтому, если условие состоит в том, чтобы приравнять во всех кучках
количество бумажек, а это означает, что, так как
кучек шесть, если мы приравняли во всех кучках.
Везде одинаковое количество бумажек, допустим, x (икс) бумажек.
Как математики любят символы, x (икс) бумажек в каждой кучке.
Тогда всего шесть умножить на x.
х + х + х + х + х + х, шесть икс.
Число, которое делится на два, это четное число.
Но изначально количество бумажек было,
здесь одна, здесь две, здесь три,
здесь четыре, здесь пять и здесь шесть.
Изначально количество бумажек было 1 + 2 + 3 + 4 + 5 +6.
Это 21, число нечетное.
Поэтому как вы ни играйте, что вы тут ни делайте,
ни через какое количество раз, сколько бы здесь кучек бумажек
у меня не было запасных, вы никогда не уравняете эти кучки.
Почему такой аргумент не действовал в предыдущем случае?
Потому что 1 + 2 + 3 — это что такое?
Это шесть.
Вы, наверно, скажете, «он не действовал
потому, что было шесть, было четное число».
Но на самом деле он не действовал по другой причине.
Он не действовал по той причине, что если вы уравняли количество
бумажек в трех кучках, и в каждой кучке оказалось
x бумажек, то всего у нас будет три x бумажек.
И четность этого числа зависит от четности икса.
Поэтому, в частности, мы не смогли уравнять количество бумажек трём.
Потому что, если их было шесть,
то мы не сможем путем разрешенных операций сделать девять.
Потому что нужно менять четность. А от четырем — пожалуйста.
Потому что, если в каждой кучке по четыре бумажки, то всего их 12,
и четность не меняется.
Поэтому здесь получилось.
Но в случае, если кучек шесть, не получится.
Потому что, сколько бы ни было бумажек в каждой кучке,
суммарно их будет четное число,
если в каждой кучке будет одинаковое количество.
Вот вам полное решение.
Так сказать, магия и ее разоблачение.
Было шесть кучек, но уравнять в них количество бумажек невозможно.
Вы как будто ходите по разным плоскостям.
У вас есть две плоскости, вот вы какой-нибудь шарик,
гоняете по одной плоскости.
А с вас требуется, чтобы он попал
на другую плоскость, которая ниже этой.
Понятно, что это невозможно без покидания плоскости.
Вам разрешили только, чтобы шарик по этой плоскости как угодно ездил.
А требуют, чтобы он здесь оказался.
Вы сразу разведете руками, вы скажете, «это невозможно».
Но здесь то же самое, здесь фактически что это за две плоскости?
Это одна плоскость — это такая умозрительная плоскость
всех конфигураций, в которых
суммарное количество этих бумажек нечетное.
А другая плоскость — это все конфигурации,
когда суммарное количество бумажек четное.
И вы не можете никогда суммарное количество бумажек
из нечетного сделать четным, потому что разрешено вам
прибавлять только две бумажки одновременно.
Вот и вся разгадка этой ситуации.
Савватеев Алексей ВладимировичДоктор физико-математических наук
Бычков Борис СергеевичКандидат физико-математический наук, младший научный сотрудник международной лаборитории теории представлений и математической физики НИУ ВШЭ
