Курс состоит из нескольких жизненных сюжетов, каждый из которых разбирается "по косточкам" и, как выясняется, содержит внутри себя нетривиальное математическое ядро. Это ядро далее также бьётся на "элементарные частицы" - так, что у слушателей возникает понимание всех глубинных механизмов рассматриваемой ситуации.
Сюжеты сгруппированы по смыслу: каждая группа сюжетов вращается вокруг одной и той же основополагающей математической идеи. Таких идей всего пять: инвариант, шаг через бесконечность, непрерывность физических процессов, самоподобие природы и нашего её восприятия, и, наконец, алгебраическая природа различных чисел.
Курс предназначен для всех, кто хочет лучше представлять себе тот мир, в котором мы живём. Не имея никаких предварительных знаний, слушатели будут введены в курс дела: какая техника используется в математике ("абсолютное доказательство" как главное отличие математического знания от любого иного) и как строить рассуждения.
Вскоре выйдет вторая часть, "Математика для энтузиастов", которую нужно будет уже изучать "с листочком бумаги и ручкой в руках". В ней встретится более нетривиальный материал, в том числе "приводные ремни" современной математики - "группы" и "поля". Кроме того, будут вскрыты весьма нетривиальные подоплёки многих школьных задач.
Курс состоит из 6 недель и 6 контрольных работ по окончании каждой недели. Для успешного прохождения курса необходимо успешно преодолеть все 6 испытаний.
Из урока
Числа
На шестой неделе вы узнаете, какими бывают числа, и чем они замечательны.
Доктор физико-математических наук Кафедра дискретной математики МФТИ
Бычков Борис Сергеевич
Кандидат физико-математический наук, младший научный сотрудник международной лаборитории теории представлений и математической физики НИУ ВШЭ Кафедра дискретной математики
[МУЗЫКА]
Ну вот, все готово для доказательства.
Доказательство будем проводить, как вы догадываетесь, от противного.
Вот этот таинственный квадрат
будет нам помогать в доказательстве,
а это равенство мы должны привести к противоречию.
Предположим, что все это не так,
что все устроено просто и ясно, как казалось пифагорейцам,
и что корень из двух, как и любое другое число,
представляется в виде некоторой дроби.
Возведем это выражение в квадрат.
Квадрат корня из двух равен двум,
а справа
m² и n².
Теперь я домножаю на n²
и получаю следующее равенство,
число m² равно удвоенному числу n².
Если мы интерпретируем квадрат
какого-то положительного целого числа
как площадь квадрата со стороной, равной этому числу,
то получается, что якобы
существуют два квадрата
со сторонами m и n, с целыми сторонами,
такие, что площадь первого вдвое больше, чем площадь второго.
И это утверждение мы будем приводить к противоречию.
Делать мы будем это следующим образом.
Мы рассмотрим целочисленную сетку на плоскости,
у которой длина будет равна единице измерения.
Вот у нас m, скажем, если m равно,
допустим, 17.
Значит, это 17 единичек.
Вот я нарисовал квадрат 17 на 17.
И предположим, что он вдвое больше по площади
какого-то другого квадрата n на n.
Навскидку, примерно, чему должно быть равно n,
чтобы площадь этого большого квадрата была вдвое больше маленького?
Примерно 12.
Давайте поработаем с этими иллюстративными значениями.
На клетчатой сетке
с конкретным фиксированным конечным шагом — единичка.
Существует некоторый квадрат,
который по площади вдвое больше другого квадрата.
И я могу внутри большого квадрата нарисовать маленький.
Более того, я хочу нарисовать целых два маленьких квадрата,
я вот отсюда отложу
наше n.
Вот эта сторона равна m единиц,
а эта — n.
И я отсюда откладываю n единиц,
в данном случае m — это 17, n — это 12.
Но при произвольных m и n
это какие-то другие квадраты, возможно, бо́льшие по размеру,
может, какие-то огромные квадраты.
Но на целочисленной сетке, я хочу обратить ваше внимание,
именно на целочисленной сетке.
И вот я нарисую
наши два квадрата
одинаковых n на n
внутри этого большого квадрата m на n.
Вот номер один,
а также с другой стороны
нарисую такой же от левого нижнего угла,
вот номер два.
Вот этот квадрат вдвое меньше по площади, чем большой.
И вот этот квадрат вдвое меньше по площади, чем большой.
Значит, их суммарная площадь
дает в точности площадь вот этого большого квадрата.
Но тогда их перекрытие должно быть по площади равно
той зоне большого квадрата, которую они не покрыли.
Каково их перекрытие?
Вот этот вот квадратик внутри. Очевидно, это тоже квадрат.
Очевидно, что это тоже целочисленный квадрат, не правда ли?
Так как мы все действия производили только в рамках целочисленной сетки.
И вот получилось, что вот это перекрытие
должно быть равно по площади
недокрытию, той территории большого квадрата,
которая не попала ни в один из маленьких.
А это что за территория?
Во-первых, этот маленький квадрат, совсем маленький,
и во-вторых, другой, вот этот маленький квадрат,
вот два маленьких квадрата,
очевидно, одинаковых по построению,
потому что квадраты m на n отложили, один — отсюда, один — отсюда.
Вся картинка совершенно симметричная,
и ясно, что вот этот квадрат такой же, что и этот квадрат,
они одинаковы, они равны друг другу.
И вот эти два квадрата в сумме по площади
должны быть равны площади перекрытия, одному вот такому квадрату.
Что же я получил?
Я получил,
что если есть какие-то два квадрата,
вдвое отличающиеся по площади,
то можно указать еще два квадрата, вдвое отличающиеся по площади,
вот, например, вот это будет k,
а вот это будет l.
И будет по-прежнему верно равенство, что k² = 2l².
Но при этом k < m, и l < n.
То есть я размеры квадратов спустил вниз.
Они по-прежнему целые,
и они по-прежнему удовлетворяют такому уравнению.
Они удовлетворяют условию,
что больший квадрат вдвое больше меньшего по площади.
Хорошо, но тогда я могу эту ситуацию повторить.
Один раз повторить, два раза. Как я буду это повторять?
Я просто сюда тоже нарисую два этих квадрата,
посмотрю на перекрытие, на недокрытие.
Возникнет вот такой квадрат и два вот таких квадрата.
Картинка будет повторяться, она будет реплицировать себя.
На каждом шаге будет возникать еще два целых числа,
которые в квадрате связаны таким соотношением,
большее число в квадрате равно удвоенному меньшему.
И по построению это получится сделать бесконечное количество раз.
Раз мы можем сделать один шаг вниз, уменьшая размеры,
мы можем сделать следующий так же, и потом третий, четвертый.
Тут уже видно, что на следующем шаге явно возникает квадрат,
который не больше, чем два других в сумме,
а, наоборот, равен им обоим.
Здесь уже противоречие получено,
если m и n были бы большими числами, нужно большее количество шагов.
В любом случае, совершенно очевидно, что бесконечное количество раз
нельзя уменьшать целые числа
так, чтобы они оставались положительными.
В итоге мы придем к противоречию, ситуации, когда их нельзя уменьшить,
и тем самым следующий ход будет невозможен.
Это равенство нельзя будет получить на следующем шаге,
но что это означает?
Это означает, что наше предположение было неверным,
из нашего предположения мы вывели, что такой спуск мы сделать можем,
и можем его повторить бесконечное число раз.
Это очень распространенный в математике способ рассуждений,
называется «бесконечный спуск».
Из того, что некоторое утверждение верно,
делается вывод, что это утверждение верно для меньших по размеру чисел.
Если числа были целые положительные, то это уже противоречие,
мы можем один раз сделать спуск, сделать его еще раз и еще раз,
а целые положительные числа нельзя бесконечно уменьшать.
В этом и состоит противоречие, и корень из двух не является дробью,
то есть не является рациональным числом.
Ознакомьтесь с нашим каталогом
Присоединяйтесь бесплатно и получайте персонализированные рекомендации, обновления и предложения.
Савватеев Алексей ВладимировичДоктор физико-математических наук
Бычков Борис СергеевичКандидат физико-математический наук, младший научный сотрудник международной лаборитории теории представлений и математической физики НИУ ВШЭ
