Наверное, вы догадываетесь, что ответ отрицательный.
Более того, многие это просто знают.
Предположим, что ситуация такая, что восемь маленьких гирь в точности
уравновешивают три больших.
Здесь три большие гири,
а здесь восемь маленьких гирь.
И вот весы в полном равновесии находятся.
В этом случае, конечно, x = 8/3,
вот во столько раз большая гиря будет тяжелее маленькой.
Я утверждаю, что мы никогда не сможем получить это число
на пути удесятерения количества гирь,
то есть на пути записи этого числа в десятичную дробь.
Переводим уже это на язык математики.
Что значит удесятерение на самом деле?
8/3 = 2 с чем-то.
Это когда мы говорим, что две маленькие гири легче,
чем одна большая, а три маленькие гири тяжелее.
Это мы заключили его в тиски этого интервала между 2 и 3.
Дальше мы пишем, что уточнение состоит в том,
что 8/3 — это 2,6 с чем-то там дальше.
Дальше, удесятеряя каждый раз, мы просто уточняем
следующую цифру этого числа.
Наверное, все знают, что такое 8/3.
8 делите на 3. 2, 6, остаток 2.
Добавляем 0, тут ставим точку, 6. 6 * 3 = 18.
Остаток 2.
Снова 0, и ясно, что дальше будут сплошные шестерки.
Шестерки будут идти до бесконечности, это, наверное, все помнят из школы.
8/3 — это 2 и бесконечное количество шестерок,
2,(6).
Вот такая бесконечная десятичная дробь.
Это число, несомненно, лежит на нашей прямой.
Мы можем отложить 8/3 сюда,
просто разделив отрезок длины 8 на три равные части.
можно разделить на три равные части
вот этот вот первый отрезочек и восемь раз отложить эту 1/3,
и мы попадаем в этот интервальчик.
В какую-то точку попали на прямой,
и эта точка не будет нами выхвачена
ни на каком шаге десятичных приближений.
Поэтому ответ, конечно, «нет».
Десятичные приближения конечной длины не покрывают всей прямой.
Тогда, может быть, верно, что любые дробные значения,
если нанести на прямую, то она будет вся покрыта.
Или нет?
Давайте попробуем этот вопрос поизучать.
Что такое десятичная дробь?
Любая конечная десятичная дробь может быть записана в виде обычной дроби.
Скажем, я взял приближение одного хорошо известного в математике числа.
31415 / 10000.
некоторое целое число делить
на некоторое целое другое число.
Поэтому все десятичные дроби конечной длины
это часть всех вообще дробей.
И видим, что часть, которая не покрывает их,
потому что вот такая дробь не входит в десятичные.
Все дроби еще более плотно покрывают нашу прямую.
Если мы возьмем по 1/3.
По 1/2 брать нет смысла, потому что 1/2 — это 0,5,
и такое число представляется в виде конечной десятичной дроби,
то есть уже попало в ту сетку, которую мы успели нанести.
А вот 1/3 уже не попала по тем же причинам,
почему 8/3 не попадает.
1/3 — это число между 0 и 1,
которое не является конечной десятичной дробью.
Нанесем его, после чего все отрезки поделим на три равные части,
и вот у нас получается на вещественной прямой
сетка из третьих долей.
Дальше мы можем смотреть сетку из четвертых долей.
Сетка из четвертых долей по-прежнему ложится на десятичные дроби,
потому что 1/4 — это 0,25.
Вообще, если вы берете степень двойки и делите на нее,
то десятичная дробь будет конечной.
Также, если вы делите на какую-то степень пятерки.
Если в знаменателе появляются числа, на которые 10 не делится,
то у вас будут появляться новые точки на прямой.
Следующий момент, когда они будут появляться, это 1/7.
1/7 не попадет ни в кратные 1/3, ни в десятичные.
Дальше будет 1/11, 1/13, я думаю, вы догадываетесь,
к чему я клоню, мы перебираем простые числа,
то есть те числа, которые делятся только на себя и на единицу.
Каждый раз мы можем создавать соответствующую сетку.
Если кто-то плохо помнит, что такое простое число,
вы просто подряд перебирайте.
Делим на 2, делим на 3, делим на 4,
и каждый раз сетку, соответственно, всю наносим.
Все кратные 1/4, все кратные 1/5,
все кратные 1/6 и так до бесконечности.
m/n,
где m и n — это целые числа, а n отлична от 0.
Все такие числа нанесем на прямую и зададим опять тот самый вопрос:
верно или нет, что вся прямая теперь полностью вошла в отмеченные точки,
то есть вся прямая нами отмечена.
Каждая точка прямой является какой-то дробью,
то есть результатом отношения одного целого числа к другому.
Или, иными словами, в терминах физически осязаемого мира.
Берем любые две гири, любого размера, любого веса.
Кладем на весы, какая-то гиря тяжелее из этих двух.
Верно ли, что всегда можно подобрать целое количество больших гирь
и целое количество маленьких гирь
таким образом, что весы окажутся в полном, 100%-ном равновесии?
Или это неверно?
И какие целые количества ни бери, может выясниться,
что всегда весы будут склоняться в одну из двух сторон?
Независимо от того, сколько здесь и сколько здесь.
Переберите все целые числа, все пары целых чисел.
Здесь и здесь и всегда весы будут в неравновесии.
То есть соответствующее число, которое обозначает отношение весов,
большой и маленькой гири, где-то находится,
безусловно, на этой прямой,
но ни одному такому дробному числу не равна.
все ли числа — дроби,
или некоторые числа дробями не являются?
Савватеев Алексей ВладимировичДоктор физико-математических наук
Бычков Борис СергеевичКандидат физико-математический наук, младший научный сотрудник международной лаборитории теории представлений и математической физики НИУ ВШЭ
