в виде некоторого многочлена.
То есть вот у меня записано пожелание возвести в n-ную степень
некоторую скобочку (x + y), где x и y могут быть
какими угодно, и n тоже совершенно произвольное.
А мне хочется выписать это
в виде сгруппированных мономов таких,
мономов, как говорят в школе, состоящих из x
в какой-то степени умножить на y в какой-то степени.
Ну то есть иными словами мы должны раскрыть
все скобки вот в таком произведении.
Честно по правилам школьной математики
раскрыть все скобки.
И вопрос в том, сколько экземпляров тех или иных
одинаковых по структуре мономов получится?
Что значит одинаковых по структуре?
Ну давайте немножко напряжём наше абстрактное мышление,
начнём раскрывать скобки.
Что значит раскрыть скобки?
Это значит, как бы при суммировании, у нас здесь будет 2 в степени n
разных слагаемых, потому что, смотрите, при раскрытии скобок
либо x, либо y идёт из первой скобки
и домножается либо на x, либо на y из второй.
Это уже даёт четыре разные комбинации
Ну это известно, что при раскрытии скобки
произведение двух скобок по два слагаемых
у нас получится четыре слагаемых в результате.
Потом каждое из этих четырех слагаемых домножается
либо на x, либо на y, и,
соответственно, становится их восемь.
Ну и каждый раз вы, когда добавляете новую скобку,
если у вас какое-то выражение было уже,
то тогда это выражение удвоится по длине,
потому что в начале каждое из слагаемых этого выражения
умножится на x, а потом каждое из слагаемых ещё умножится на y.
То есть если мы честно раскроем скобки,
у нас будет сумма из 2 в n-ной выражений.
Все эти выражения имеют вид там x в какой-то степени
умножить на y в какой-то ещё степени.
Причём x будет, если в степени, например, k,
то y обязательно в степени (n − k), потому что это вопрос о чем?
Это вопрос о том, из скольких скобок при раскрытии
я взял x, а из остальных тогда я взял y,
потому что я всё равно из каждой скобки должен что-то взять.
И бином Ньютона — это некоторое утверждение про то,
с какими коэффициентами войдут вот эти вот мономы,
когда мы соберём все одинаковые.
Итак, бином Ньютона — это некоторая сумма,
которая стартует из вот такого монома, умноженного на что-то.
Потом следующий моном вот такой.
То есть этот моном — это что такое?
Значит, мы отсюда взяли x, просто из каждой скобки взяли x,
и вот получился он.
Если что, он один раз будет только встречаться,
потому что, если мы из каждой скобки взяли x,
всё, вот у нас вот этот моном,
и никаким образом другим x в n не получить.
Если мы хоть из какой-то скобки взяли не x, а y,
то это уже какие-то следующие мономы.
Какое-то количество будет вот таких мономов.
Какое-то количество вот таких.
И дальше с той стороны в таком же духе всё повторится.
Будет какое-то количество таких мономов,
какое-то количество вот таких, и всего один вот такой.
Вот эти вот коэффициенты называются
биномиальными коэффициентами.
Биномиальные коэффициенты носят название C из n по 0,
C из n по 1, C из n по 2,...,
C из n по n − 2, C из n по n − 1
и C из n по n.
При этом сразу можно сказать, что из соображений,
которые мы уже с вами получили,
вот эти два коэффициента просто равны 1.
Поэтому на самом деле их можно было бы стереть.
И, кроме того, ясно, что C из n по k
и C из n по n − k
— это один и тот же коэффициент,
потому что сколько способов взять k раз x и (n − k) раз y,
ясно, что ровно столько же способов
наоборот взять k раз y и (n − k) раз x.
В силу просто симметрии этой задачи.
Ну и вот бином Ньютона — это вот это разложение,
в котором требуется каким-то образом понять, чему вот эти вот числа равны.
И я хочу просто написать формулу,
эту формулу можно прочесть в любой книге,
поэтому я не буду сейчас тратить время на то, чтобы её доказывать.
Это требует некоторого сосредоточения.
Но формулу я приведу, чтобы вы просто знали,
что такое бином Ньютона и как он записывается.
C из n по k =
n * (n − 1) * (n − 2)...
вплоть до 1, помните, это n-факториал,
такое число, которое мы называли n-факториал.
А внизу стоит произведение
k * (k − 1)... 2 * 1,
и ещё произведение,
начиная от n − k:
(n − k) * (n − k − 1) *... * 2 * 1.
И на самом деле здесь можно кое-что сократить.
То есть в этом выражении, его вот для запоминания
n! / k! * (n − k)!.
Факториал — это произведение всех чисел,
начиная от данного и кончая 1, всех подряд идущих вниз.
И C из n по k — это просто вот это вот число.
Но в принципе его можно сократить на один из этих факториалов.
То есть можно, например, взять и здесь
n − k, n − k − 1,...
все сократить вот с этими вот числами.
Ну вот тут вот до какого-то места.
И тем самым получить другой вид этого коэффициента.
А именно n * (n − 1) * (n − 2) *...
* (n − k + 1),
потому что все остальные сократились,
и вот эта штука делится на k-факториал.
Это другой способ записать C из n по k.
Ну и теперь вы можете поупражняться, исходя из того, что, допустим,
вы поверили в эту формулу, вы можете просто поупражняться с
x + y там в кубе, во 2-й степени, в 4-й степени,
угадать или вспомнить здесь какие-то школьные формулы,
которые приводились для разложения куба суммы
и квадрата суммы, и освоиться с этими факториалами уже самостоятельно.
Савватеев Алексей ВладимировичДоктор физико-математических наук
Бычков Борис СергеевичКандидат физико-математический наук, младший научный сотрудник международной лаборитории теории представлений и математической физики НИУ ВШЭ
