Каждый день, почти каждую минуту мы делаем выбор. Прямо сейчас Вы сделали выбор прочитать этот текст, вместо того чтобы пролистать дальше. Выборы могут быть несущественными: поехать на трамвае или на автобусе, взять зонт или нет. А могут быть очень значительными и даже судьбоносными: выбор ВУЗа, спутника жизни. Впрочем, существенность выбора – относительное понятие. Бывает, что решение «не брать зонт» кардинально меняет судьбу. Выбор может затрагивать небольшую группу людей или целые государства. В теории игр мы называем выбор стратегией. Постоянно взаимодействуя с социумом и принимая те или иные стратегии, многие задаются вопросом: почему нельзя всем существовать мирно, и сотрудничать друг с другом? И правда, почему? Почему те, кто договорились сотрудничать, внезапно разрывают договоренности? Что делать, если один настроен на сотрудничество, а второй нет? Насколько выгодным должно быть взаимодействие, чтобы противник изменил свое мнение? Когда долгосрочные стабильные перспективы лучше сиюминутной выгоды, а когда нет? Ответы на эти и другие вопросы Вы узнаете из нашего курса. Этот курс будет полезен тем, кто хочет делать выбор, основываясь на математических расчетах, а не полагаясь на судьбу. Кто интересуется мировой политикой и хоть раз слышал о «Дилемме заключенного». Курс является базовым и не требует специальной подготовки, достаточно освоенного школьного курса математики. В отдельных главах будут использован аппарат математического анализа и элементы теории вероятности.
Неантагонистические игры в нормальной форме и биматричные игры
Loading...
Из курса от партнера Saint Petersburg State University
Математическая теория игр
оценки
Познакомьтесь с преподавателями
Петросян Ованес Леонович
Тайницкий Владислав Александрович
Кафедра математической теории игр и статистических решений
Mariia Bulgakova
Ли Инь
Смирнова Надежда Владимировна
Панкратова Ярославна Борисовна
Кафедра математической теории игр и статистических статистических решений
[МУЗЫКА]
[МУЗЫКА] Здравствуйте.
В предыдущем разделе мы рассматривали антагонистические игры,
то есть игры двух лиц, в которых один игрок старается
максимизировать свой выигрыш, а другой игрок играет против него.
В данном разделе мы будем рассматривать неантагонистические игры, а именно игры
n лиц, в которых у каждого из игроков есть своя собственная цель, а именно — свой
собственный выигрыш, который зависит от действий всех остальных игроков.
Но важно заметить, что в данной модели, так же как и в модели антагонистических
игр, действия игроков принимаются одновременно и независимо друг от друга.
Перейдем к рассмотрению классического примера — дилеммы заключенного.
Предполагается, что двое заключенных совершили вместе преступление и
после этого попали в тюрьму.
Там их допрашивают независимо друг от друга.
Каждый из заключенных может сознаться или не сознаться,
то есть рассказать о преступлении, которые они совершили вместе,
или не рассказать об этом преступлении.
Существует несколько вариантов развития событий: либо оба преступника молчат,
тогда каждый из них получает по полгода тюрьмы; либо оба сознаются — тогда каждый
получает по два года тюрьмы; либо один сознается, другой молчит — тогда тот,
кто сознается, получает ноль лет тюрьмы, то есть его отпускают,
а тот, кто не сознается, получает десять лет тюрьмы.
Следующий классический пример неантагонистической игры — это игра,
описывающая семейный спор.
У нас есть муж и жена, которые решают, куда они пойдут вечером.
Есть два варианта развития событий: первый — это футбольный матч; и второй — театр.
Предполагается, что муж и жена выбирают
альтернативы независимо друг от друга и одновременно.
Конечно, они хотели бы провести вечер вместе, для них это важное условие.
Для того чтобы построить математическую модель данных процессов,
нужно определить так называемую бескоалиционную игру в нормальной форме.
А именно, Γ (гамма), которая определяется
через N Xi Ki, где i принадлежит множеству N.
N — это множество игроков 1, ..., n.
Xi — это это множество стратегий игрока i.
И Ki — это функция выигрыша игрока i, которая задана на
наборе элементов множества X1, ...,
Xn, то есть на всевозможных выборах игроков в игре.
Итак, через xi, принадлежащее множеству X,
мы будем понимать стратегию игрока i.
Вектор x = x1, ..., xn мы назовем ситуацией в игре.
То если одновременно независимо друг от друга игроки выбрали набор стратегий,
то реализуется ситуация.
Для каждой ситуации определена функция выигрыша — функция выигрыша i-того игрока.
Для игры дилеммы заключенных множество игроков состоит из двух,
множество стратегий каждого из игроков состоит из двух чистых стратегий,
а именно либо хранить молчание, либо сознаться.
Функция выигрыша задана во всевозможных ситуациях в игре.
Допустим, что каждый из игроков выбрал
чистую стратегию x1 и y1 соответственно, то есть каждый из них решил молчать,
тогда выигрыш первого равен выигрышу второго и равен −1/2.
То есть каждому из игроков придется сидеть по полгода в тюрьме.
Ну и аналогичные выигрыши определяются для других ситуаций.
В случае семейного также спора множество игроков состоит из двух игроков,
и множество чистых стратегий для каждого из игроков также состоит
из двух чистых стратегий, а именно выбор похода на футбол или выбор похода в театр.
Функция выигрыша для ситуации x1y1 для
первого и второго игрока определяются как 4 и 1.
То есть в случае, если и муж и жена выбрали поход на футбол,
то муж получает выигрыш 4, а жена получает выигрыш 1, что достаточно логично.
В случае, если и муж и жена выбирают чистые стратегии похода в театр,
тогда муж получает выигрыш 1, а жена получает выигрыш 4.
Однако в случае, если они выбрали разные альтернативы, то есть в случае
реализации ситуации x1 y2 x2 y1, то каждый из игроков получает выигрыш ноль,
потому что они хотят провести вечер вместе.
Для описания подобных игр или подобных
процессов можно также воспользоваться понятием биматричной игры.
Биматричная игра — это бескоалиционная игра двух лиц с конечным числом стратегий.
А именно — множество игроков состоит из двух игроков,
так же как и в примерах, рассмотренных нами ранее,
и множество стратегий каждого из игроков является конечным множеством.
Функции выигрышей, или значение выигрышей на каждой из ситуаций,
мы можем описать в виде матриц.
А именно выигрыш первого игрока для всевозможных ситуаций — это одна матрица,
матрица A; выигрыш второго игрока для всевозможных ситуаций — это другая
матрица, матрица B.
Тогда для игры дилеммы заключенного биматричная игра имеет вид,
представленный на слайде, где каждой ситуации соответствует пара,
то есть выигрыш первого игрока и выигрыш второго игрока.
Для игры семейного спора биматричная игра имеет вид, тоже представленный на слайде.
На данном слайде представлен список источников,
который поможет вам детальнее разобраться с понятием неантагонистической
игры и биматричной игры.
Ознакомьтесь с нашим каталогом
Присоединяйтесь бесплатно и получайте персонализированные рекомендации, обновления и предложения.
Coursera делает лучшее в мире образование доступным каждому, предлагая онлайн-курсы от ведущих университетов и организаций.
© Coursera Inc., 2019 Все права защищены.
