Здравствуйте, меня зовут Ованес Петросян. В рамках этого курса мы с вами познакомимся со статистическими играми, динамическими многошаговыми играми и дифференциальными играми. Мы с вами будем заниматься антогонистическими играми, неантогонистическими играми и кооперативными играми. Теория игр появилась в пятидесятых годах двадцатого века и использовалась для моделирования конфликтно управляемых процессов многими участниками. В данном разделе мы с вами познакомимся с темой антагонистических игр. Антагонистические игры могут быть использованы для моделирования боевых действий, настольных игр, таких как шахматы или шашки, игры в карты и многого другого. Рассмотрим классический пример игры полковника Блотто. У полковника Блотто есть m полков, у его противника n полков. И есть два поля сражения. Каждый из участников отправляет какое-то количество полков на каждое из полей сражений, и от того, сколько полков есть на каждом поле сражения, зависит результат битвы и результат сражения. Каждый из участников принимает решение о количестве полков, которую он отправит на каждое из полей одновременно и независимо друг от друга. То есть, мы предполагаем, что между ними нет никакой связи, и они просто выбирают какую-то стратегию или выбирают это действие и потом наблюдают за результатом. Для построения математической модели игры Блотто можно воспользоваться антагонистической игрой в нормальной форме. Мы будем называть Гамма Г антогонистическую игру в нормальной форме, где Г - это X, Y и K. Множества X и Y это непустые множества стратегий игроков 1 и 2, и К - это функция выигрыша, заданная на множестве ситуаций. Ситуация - это пара стратегий из множества Х и из множества Y. Итак, после выбора определенного элемента из множества стратегий образуется ситуация, и на этой ситуации задана функция выигрыша. Функция выигрыша игрока 2 определяется как минус функция выигрыша игрока 1. Так как мы рассматриваем антагонистическую игру или в случае полковника Блотто, мы говорим, что если выигрывает один игрок, то проигрывает другой. То есть функция выигрыша первого игрока равняется минус функции выигрыша второго игрока. В случае полковника Блотто, стратегия - это вектор (х1,х2), где x1- это количество полков, которое полковник Блотто отправит на первое поле сражения, x2 - количество полков, которые полковник Блотто отправит на второе поле сражения. Естественно, их сумма равняется m - числу полков, которые у него есть. Аналогично для его противника. Функция выигрыша полковника Блотто складывается из выигрышей, которые получит полковник Блотто на каждом из полей сражений. В случае, если количество полков, которое отправил полковник Блотто на первое поле сражения, или допустим на i-тое поле сражения - хi, строго больше, чем число полков, которое отправил его противник на это поле сражений, то мы говорим, что полковник Блотто выигрывает на этом поле и его выигрыш равен числу полков противника именно yi+1. Если число полков, которое отправил полковник Блотто и его противник поле сражения i равны между собой, то мы считаем, что на этом поле образуется ничья, и тогда выигрыш равен нулю. В случае, если число полков полковника Блотто меньше, чем число полков противника на этом поле сражения, мы считаем, что он проигрывает, и тогда его выигрыш рассчитывается как минус (число его полков плюс один). Аналогичным образом рассчитывается выигрыш или функция выигрыша второго игрока. Рассмотрим теперь особый класс антагонистических игр, именно более практические, более удобные для исследования - класс матричных игр. Антагонистические игры, в которых оба игрока имеют конечные множества стратегий, называются матричные. Матричные игры мы обозначим через Гамма А, и стратегии первого и второго игрока мы переномеруем, так как их конечное число и обозначим через x0 и так далее xm, и для второго игрока - y0 и так далее yN. Множество ситуаций теперь у нас конечное число (xi,yj), а функция выигрыша у нас задана теперь на конечном множестве ситуаций и обозначается через a_ij, где a_ij - это элемент матрицы А. Для игры полковника Блотто можно построить соответствующую матричную игру. Для этого предположим, что стратегии игроков имеет следующий вид: xi- это вектор (m-i,i), где m - это общее число полков полковника Блотто, а i - это количество полков, которые полковник Блотто отправит на второе поле сражения. Таким образом, для различных i мы получаем различные распределения полков на полях сражений. Аналогично верно для его соперника или второго игрока. Ниже представлен способ определения выигрышей или определение функции выигрыша для матричной игры для различных значений m, n, i и j. Слева на слайде представлена матрица выигрышей для игры полковника Блотто в случае, когда m равно четырем, a n равно трем. То есть случай, когда у полковника Блотто 4 полка, а у его соперника 3 полка. На этом слайде представлен список источников, и вы сможете ознакомиться более глубоко с теорией игр, с введением в теорию игр и теорией антагонистических игр.
