[БЕЗ_ЗВУКА]
[БЕЗ_ЗВУКА] Система уравнений третьего порядка.
Давайте попробуем распространить те идеи и методы,
которые мы только что с вами рассмотрели на системах второго порядка,
к исследованию систем более сложных.
И естественно, что следующий шаг мы рассмотрим,
связанный с решением систем третьего порядка.
Так же, как и в предыдущем случае, мы сохраним ту же самую систему обозначений.
И тогда в этой системе обозначений у нас с вами уравнения
будут выглядеть следующим образом:
a11 x1 +
a12x2 +
a13x3 =
b1 a21x1
+ a22x2 +
a23x3 = b2
a31x1 +
a32x2 +
a33x3 = b3
Объединим значком системы.
Если поступать точно так же, как и в предыдущем случае,
то мы должны с вами совершить довольно большую массу действий.
Поэтому я не буду это делать.
Вы можете проверить правильность моих выкладок самостоятельно.
И поэтому я сразу перейду к тем результатам,
которые были получены в предыдущем случае.
А именно, я напишу,
что x1 = Δx1/Δ;
x2 = Δ
x2/Δ; и, наконец,
x3 = Δ x3/Δ.
И возникает вопрос.
Как в этом случае будут выглядеть те значки,
которые у нас с вами здесь расставлены?
Начнем с определителя системы.
Выпишем матрицу системы.
Она будет состоять из коэффициентов при неизвестных.
Значит, это будет a11 a12
a13 a 21
a22 a23
a 31 a32 a33.
Я не буду брать в круглые скобочки просто из-за экономии места.
Сразу же возьму и помещу значок определителя.
Итак, представим себе, что мы выполнили все действия точно так же,
как и в предыдущем случае: домножали, убирали неизвестные.
И в результате пришли к этим формулам.
Итак, у нас теперь есть такая таблица, из которой нужно получить число.
Это число уже будет выглядеть существенно более сложным,
потому что понятно, что у нас с вами появилось большее количество
элементов матрицы, значит, будет большее количество слагаемых.
Можно по-разному подойти к тому, как запомнить эту величину.
Я предлагаю следующее.
Итак, чему же будет равен этот вот определитель?
Можно поступить следующим образом.
Я опять выпишу нашу таблицу: a11 a12
a13 a 21
a22 a23
a31 a32
a33 (и добавлю еще раз первый
столбец) a 11 a21
a 31 (и второй столбец) a12
a22 a32.
И проведу вот такие вот диагонали.
Первая.
Вторая.
И третья.
[БЕЗ_ЗВУКА] Эти
сомножители войдут в наш определитель со знаком плюс.
a11 a22
a 33 +
a 12
a 23
a31 +
(следующее слагаемое тоже со знаком
плюс) a 13
a 21 a32.
Теперь я проведу другие диагонали.
Значит, здесь у нас все это со знаком плюс.
А вот эти диагонали проведем вот так.
И эти слагаемые войдут со знаком минус.
Я буду начинать с первого индекса.
− a 13 a 22
a 31 −
a11 a23
a32 −
a12 a21
a33 Еще раз повторяю.
Вот это выражение получается из нашей системы, из матрицы
коэффициентов перед неизвестными, если проделать все те же самые действия,
которые мы с вами проделали, решая систему уравнений из двух неизвестных.
Но, давайте задумаемся.
Во-первых: довольно трудно запомнить.
Во-вторых: а не проще ли просто решать эту систему в лоб
без всяких этих стрелочек и всего остального?
Да, наверное, для системы из трех уравнений,
этот метод является достаточно громоздким, но,
его можно ведь распространить и на систему из четырех уравнений,
можно распространить на систему из пяти уравнений.
При этом, мы должны понять с вами следующее.
А можно ли вычисление вот такого определителя свести
к вычислению определителей более низкого порядка?
Значит, это определитель третьего порядка, три на три.
Можно ли его свести к вычислению определителей второго порядка?
Для этого мы должны ввести с вами несколько понятий.
А именно, первое — это понятие минора.
Mij — это будет определитель,
который получается из исходного определителя
вычеркиванием соответствующей строки и столбца.
Например, M 23 будет выглядеть следующим образом.
Мы вычеркиваем эту строку, этот столбец.
И получаем: a11
a12 a 31 a32.
Введем понятие алгебраического дополнения:
Aij = (−1) в степени i+j * Mij.
И дальше нужно доказать важную теорему,
которая состоит в следующем: определитель третьего порядка
может быть разложен по элементам строки или столбца следующим образом,
вне зависимости от того, какую строку или какой столбец мы с вами выберем.
Например, если мы с вами выберем вторую строку,
то получается следующее: a21 A21
+ a22
A 22 +
a 23
A 23.
[БЕЗ_ЗВУКА]