[ШУМ]
[ШУМ] Применение
векторной алгебры к решению физических задач.
Рассмотрим несколько физических задач,
в которых нам придётся использовать понятие вектора и некоторые его свойства.
Первое — это относительное движение.
Опять же пусть у нас имеется река, но теперь
лодка плывёт не вдоль, а поперёк реки.
У неё есть собственная скорость, v лодки.
Есть скорость течения реки и есть
скорость лодки относительно берега,
которую я обозначу буковкой v.
Ну вот решим две таких задачи.
Пусть известно, что v лодки...
Понятно, что здесь векторное равенство сводится к обычному
треугольнику прямоугольному.
Поэтому это свойство мы с вами и используем.
Значит, v реки, здесь тоже надо стрелочку поставить.
Пусть у нас v лодки — это четыре километра в час,
v реки — один километр в час.
И нужно найти скорость лодки относительно берега.
v будет равно, по теореме Пифагора понятно, что это будет такое,
это будет v лодки в квадрате прибавить
v реки в квадрате равняется корень квадратный из,
v лодки — это четыре, четыре в квадрате — это шестнадцать,
плюс единичка в квадрате — единичка,
это примерно будет четыре и один километра в час.
С другой стороны,
если нам известно, что скорость лодки v — это пять
километров в час, а скорость реки,
v реки, это два километра в час,
то мы можем определить скорость лодки в стоячей воде.
v лодки в этом случае будет равняться корню квадратному
из двадцать пять, пять в квадрате, минус четыре.
Корень из двадцати одного — это будет примерно четыре и шесть,
четыре и шесть километра в час.
Следующая задача будет связана с движением тела по отношению к горизонту.
Давайте рассмотрим следующую задачу.
С горизонтальной поверхности со скоростью v с ноликом,
равное 40 метров в секунду, сброшено тело,
и оно начинает после этого свободное падение.
Требуется найти: первое, форму кривой,
по которой будет двигаться
тело, второе,
скорость через
время t пусть три минуты,
три секунды, минуты уж очень много, конечно.
И третье, это угол α,
который вектор скорости v образует
с горизонтальной плоскостью,
с направлением горизонта, с той плоскостью.
Вот так вот мы с вами сделаем.
Итак, начнём.
Давайте нарисуем чертёжик, вот эта точечка,
с которой со скоростью v с
ноликом горизонтально
[БЕЗ_ЗВУКА] отправлено наше тело,
и после этого оно начинает совершать свободное падение — и сюда
мы с вами направим ось y.
Тело будет двигаться по какой-то такой траектории,
которую мы с вами должны определить.
Давайте смотреть, как определить траекторию.
Для этого мы должны определить скорость перемещения по оси x и
перемещения по оси y в зависимости от времени.
Значит, x у нас будет равняться v с ноликом на t.
y будет равняться gt квадрат пополам.
Это известное значение.
Если мы теперь из этих уравнений исключим t,
то получим следующее: t равняется x поделить на v с ноликом.
Подставляем во второе уравнение, получаем y равняется
g на x квадрат
поделить на два v с ноликом в квадрате.
Либо можно записать в такой форме: y равняется
g поделить на два v с ноликом в квадрате и на x в квадрате.
Эта величина у нас с вами постоянная,
значит мы с вами получили уравнение параболы.
Переходим ко второй
части нашей вычислений, определим скорость через три секунды.
По оси x у нас с вами скорость постоянная,
vx — это v с ноликом,
а вот vy в этом случае будет
равно g на t.
Давайте мы примем g десять, ускорение свободного падения.
Тогда мы получаем следующее, что в любой точке v как
функция от времени,
она будет вычисляться следующим образом: как корень квадратный из
vx в квадрате плюс vy в
квадрате равняется корень
квадратный из v с
ноликом прибавить
gt в квадрате.
Давайте сосчитаем внимательно, это будет корень
квадратный из v с ноликом в квадрате, v с ноликом — это у нас 40,
40 в квадрате плюс,
теперь второе слагаемое, g на t, g мы считаем 10,
t — три, это будет 30 в квадрате.
Ну и таким образом мы получаем v равняется 40 в квадрате плюс 30 в квадрате,
четыре в квадрате — 16, три в квадрате — девять, 25.
Пять и нолик естественно
— 50 метров в секунду.
Третья часть задачи состоит в том,
чтобы определить в этой точке угол,
который составляет вектор скорости с горизонтальным направлением.
Видно, что
тангенс α в этом случае будет равен
отношению вот этого отрезочка к этому отрезочку,
это у нас с вами в данном случае 30,
мы знаем, что по оси y к этому моменту 30,
а v с ноликом — это 40.
Значит, тангенс α будет 30 поделить на 40,
то есть α будет равно арктангенсу
трёх четвёртых.