[МУЗЫКА] В этом видео диагонализация симметричной матрицы подарит нам еще один критерий для проверки, является ли положительная форма отрицательно определенной, положительно определенной или полуопределенной. Давайте посмотрим сначала, какие бывают у симметричной матрицы собственные числа, а потом разберемся с диагонализацией квадратичной формы. Если A — симметричная матрица, то есть A транспонированное = A, оказывается, что у нее найдется ровно n действительных собственных чисел λ с учетом кратности и ровно n линейно независимых ортогональных собственных векторов. И из этого следует, что можно найти ортогональные собственные векторы единичной длины: достаточно ортогональные векторы поделить каждый на его длину, и из этого также следует, что симметричная матрица A всегда диагонализуема. Чем хороши ортогональные векторы и особенно ортогональные векторы единичной длины? Если я запишу ортогональные собственные векторы единичной длины в матрицу P столбиками, то в матрицу P транспонированное эти же собственные векторы войдут как строчки. Когда я домножу P транспонированное на P, у меня строчки будут множества на столбцы. При этом там, где v1 будет множиться на v1, будет получаться 1, потому что он имеет единичную длину. А там, где v1 множится на v3, будет получаться ноль, потому что они ортогональны. Соответственно P транспонированное на * P окажется равным единичной матрице. Другими словами, P транспонированное будет равно P в −1-й, или, другими словами, P — это ортогональная матрица. Соответственно мы получили утверждение о диагонализации квадратичной формы. Если у меня есть квадратичная форма f(x), которая равна x транспонированное * симметричную матрицу A * x, то она обязательно представима в виде x транспонированное * P * D * P в −1-й * x, где D — это диагональная матрица из собственных чисел, а P — это матрица из линейно независимых собственных векторов матрицы A. Выбрав удачным способом собственные векторы, а согласно теореме, которую мы сформулировали, их можно выбрать ортогональными единичной длины, выбрав собственные векторы ортогональными единичной длины, мы получаем диагонализацию в специальном виде, а именно в виде x транспонированное * P * D * P транспонированное, которое будет равно P в −1-й, умножить далее на x. И получается, что, представив f(x) в виде x транспонированное * P * D * P транспонированное * x, можем начало x транспонированное * P записать как P транспонированное * x, это просто строки и столбцы поменяли местами, раньше у x брали строчку, а у P брали столбцы, теперь у P транспонированного берем строчки, а x берем как столбец. И в этой записи видно, что... Эту запись можно трактовать следующим образом, что если я сделаю замену переменных y = P транспонированное * x, то сделав замену переменных y = P транспонированное * x, я получу, что моя квадратичная форма f(x) представлена в виде y транспонированное * диагональную D * y. То есть получается, что квадратичная форма f(x) записана в виде λ1 * y²1 + λ2 * y²2, ..., λn * y²n. Конечно, такая замена переменных легко позволяет выяснять определенность. Действительно, если я вижу, что форма f(x) после какой-то там замены переменных превратилась в 5y²1 + 6y²2 − 9y²3, я, конечно, сразу скажу, что эта форма не определена. Действительно, ясно видно, что она принимает и положительные, и отрицательные значения. Возьмем y3 = 0 и какие-нибудь y1, y2, или наоборот, возьмем y1y2 = 0 и какой-нибудь y3. Соответственно, мы получили следующий результат, что если после замены переменных, которая диктуется диагонализацией матрицы A квадратичной формы, мы получили форму в виде λ1 y²1 + λ2 y²2 + ..., то мы можем легко сказать, что если все λi, все собственные числа больше нуля, квадратичная форма положительно определена. Если все λi строго меньше нуля, квадратичная форма отрицательно определена. Если λi больше либо равны нулю, то форма положительно полуопределена. Если все λ не положительны, то квадратичная форма отрицательно полуопределена. И в противном случае, когда найдется положительный λ и хотя бы один отрицательный λ, то форма квадратичная f не определена. Полностью доказывать мы сформулированное утверждение о возможности диагонализации любой симметричной матрицы не будем, однако кусочек его маленький легко предъявить. Мы докажем маленькое утверждение, которое говорит, что для симметричной матрицы A, собственные векторы которой отвечают разным λ, они ортогональны. Действительно, давайте возьмем два собственных вектора x и y. Один под действием матрицы A растягивается в пять раз, а y растягивается в семь раз. Ax = 5x, и Ay = 7y. Тогда получается, что скалярное произведение ⟨Ax, y⟩ = скалярному произведению ⟨5x, y⟩ = 5 * скалярное произведение ⟨x, y⟩. Аналогично скалярное произведение ⟨x, Ay⟩ = 7 * скалярное произведение ⟨x, y⟩. А с другой стороны, эти два произведения должны быть равны, потому что Ax * y скалярно умножить по определению транспонирования, транспонирование позволяет матрице прыгать из одного аргумента скалярного произведения в другой. А матрица симметрична. Получается, что ⟨Ax, y⟩ скалярно = ⟨x, A транспонированное y⟩ скалярно = ⟨x, Ay⟩. Получается, что 5 ⟨x, y⟩ = 7 ⟨x, y⟩. Ну а когда это возможно, чтобы пять коров равнялись семи коровам? Это только, когда коровы нулевые. Поэтому получается, что векторы x и y у нас ортогональные. Таким образом, мы получили, что собственные векторы, которые отвечают у матрицы A различным собственным значениям, ортогональны. Для полного доказательства возможности диагонализовать симметричную форму осталось еще показать, что для каждого λ найдется столько линейно независимых ортогональных векторов, какова алгебраическая кратность этого λ. Но это мы утверждение оставим без доказательства. А в следующем видео мы обсудим еще один критерий, как можно определить определенность квадратичной формы, критерий Сильвестра. [МУЗЫКА]
