В этой лекции мы поговорим о квадратичных формах и о симметричных матрицах, которые с ними неразрывно связаны. Начнем мы с определения квадратичной формы. После этого мы дадим понятие, что такое определенность квадратичной формы, хотя, по сути, это просто другое название для знака квадратичной формы. Квадратичная форма по определению — это всего лишь многочлен от нескольких переменных, в котором присутствуют только слагаемые вида xi в квадрате или xi помножить на xg. Например, функция x квадрат плюс 6xy минус 7y квадрат — это квадратичная форма. А функция x квадрат плюс 6xz минус 8xy плюс 3z плюс 9 — это неквадратичная форма из-за наличия лишних слагаемых 3z и 9; без них — была бы квадратичной формой. Зачем нужны квадратичные формы? Конечно, функции, которые бывают, они безумно разнообразны, и квадратичными формами все далеко не исчерпывается, но очень часто бывает, что какая-то произвольная функция f(x, y) из довольно широкого множества может быть хорошо аппроксимирована суммой вида a плюс bx плюс cy плюс dx квадрат плюс exy плюс fy квадрат, и тогда именно квадратичная форма d помножить на x квадрат плюс е на xy плюс f на y квадрат — именно эта квадратичная форма и будет нам многое говорить про вид функции f в окрестности нуля. С помощью квадратичных форм можно, например, изучать, имеет ли функция экстремум или точка просто является критической, с производными, равными нулю — это одна из ролей квадратичной формы. Квадратичные формы удобно записывать в виде матриц. Например, если по правилам матричного умножения умножить вектор-строчку (x1 x2 x3) на симметричную матрицу, а потом еще умножить на такой же столбик (x1 x2 x3), то по правилам матричного умножения получится 5x1 в квадрате плюс 7x2 в квадрате плюс 11x3 в квадрате минус 2x1x2 минус 6x1x3 плюс 4x2x3. И можно обратить внимание, что получается ровно квадратичная форма. Причем можно добиться любых коэффициентов при xi в квадрате (это просто диагональные элементы матрицы) и можно добиться любых коэффициентов перед произведениями смешанными типа x1x2. Например, перед x1x3 в нашей квадратичной форме стоит коэффициент минус 6, и он пришел из первого третьего элемента матрицы и третьего первого элемента матрицы, которые равны по минус тройке (у нас матрицы симметричны) и в результате в квадратичную форму вошел коэффициент минус шесть. Никакой мистики здесь нет; просто, если выполнить матричное умножение, получится такой результат. Соответственно, из этого простого равенства следует, на самом деле, общая идея, что любую квадратичную форму fx можно записать в виде: x транспонированное (вектор-строка) умножить на симметричную матрицу A умножить на вектор-столбец. У симметричной матрицы, конечно, A транспонированное равно A. Заметим, что любая квадратичная форма равна нулю в точке ноль, потому что если вместо всех x подставить ноль, получится сумма нулей. И интересовать нас прежде всего будет поведение квадратичной формы за пределами нуля, то есть какие значения (положительные, отрицательные, нулевые) может принимать квадратичная форма при x не равном нулю. И отсюда возникает пять вариантов. Первый вариант — что форма является положительно определенной; это означает, что при любых x, кроме нулевого, она строго положительна. На картинке изображен как раз такой случай: в нуле функция равна нулю, однако стоит чуть-чуть отойти от нуля, и функция уже сразу положительна. Пример такой функции — это x1 в квадрате плюс x2 в квадрате. Аналогично форма квадратичной формы называется отрицательно определенной, если она всегда отрицательна (за исключением точки x равной нулю). И пример графика такой функции изображен на картинке; мы видим, что в нуле она принимает максимальное значение ноль, а за пределами нуля форма отрицательна. Пример функции такого вида — это минус x1 квадрат минус x2 в квадрате. Аналогично форма может быть положительно полуопределенной (еще говорят неотрицательно определенной и даже просто неотрицательной), если она не отрицательна нигде. Примером такой функции является f(x1, x2) равная x1 в квадрате, и график представляет собой желоб, у которого есть целая прямая, где функция равна нулю, а за пределами этой прямой функция строго положительна. По аналогии форма называется отрицательно полуопределенной (неположительно определенной, да даже просто неположительной), если она всегда не положительна. И графиком будет перевернутый желоб; на целой прямой форма равна нулю. Пример такой функции — это f(x1, x2) равная минус x1 в квадрате. И осталась пятая возможность: форма может быть неопределенной. Квадратичная форма f называется неопределенной, если она принимает как положительные, так и отрицательные значения. На картинке неопределенная квадратичная форма выглядит в виде седла: есть область, где она уходит в минус бесконечность, есть область, где она уходит в плюс бесконечность. Пример такой функции — x1 в квадрате минус x2 в квадрате. Заметим, что любая квадратичная форма равна нулю в точке ноль, но ежели попалась какая-то точка x, в которой форма равна нулю (помимо стартовой — помимо начала координат), то тогда и в любой точке x, домноженной на любую константу t, квадратичная форма будет равна нулю. Действительно, f от t помноженного на x (мы можем написать, что это tx транспонированное) на матрицу A на tx; t квадрат вынеслось вперед произведения; и получается, что это t квадрат на ноль. Значит, получается, что квадратичная форма, если уж она равна нулю, то она равна нулю на целой прямой, проходящей через точку x. В следующем видео мы попробуем школьными методами, а именно с помощью выделения полных квадратов, понять, какие значения (положительные, отрицательные, нулевые) может применять принимать квадратичная форма.
