[МУЗЫКА] В этом видео мы обсудим диагонализацию матрицы. Краткий план следующий. Сначала мы поймем, что собственные векторы, соответствующие одному собственному числу, образуют векторное пространство. Потом мы введем понятие геометрической кратности собственного числа. И потом мы увидим, как можно диагонализовать матрицу. Итак, рассмотрим оператор L, который превращает Rn в Rn и имеет собственное число λ. И мы рассмотрим множество всех векторов, которые растягиваются в λ раз, то есть домножаются на λ под действием L. И дополним это множество нулевым вектором — поскольку по определению собственный вектор это не нулевой вектор, ну вот сюда мы ноль обратно добавим. И, соответственно, это множество является векторным пространством. Почему оно является векторным пространством? Надо проверить, по-хорошему, два свойства. Если был какой-то вектор v, который растягивался в λ раз, если я этот вектор домножу на константу t, то полученный вектор тоже будет растягиваться в λ раз — это первое свойство векторного пространства. А второе свойство, что если два вектора, a и b, оба растягивались в λ раз, то тогда их сумма c = a + b, тоже будет растягиваться в λ раз. И, соответственно, геометрической кратностью собственного числа λ называется размерность соответствующего множества собственных векторов, которые соответствуют этому собственному числу λ. Можно дать эквивалентное определение, что максимальное количество линейно независимых собственных векторов, которое можно набрать для данного числа λ, это и есть геометрическая кратность λ. Есть теорема, которая говорит о том, что геометрическая кратность собственного числа λ не превосходит его алгебраической кратности и не меньше единицы. Что это означает на примере? Если характеристический многочлен матрицы A равен −(λ − 7)(λ − 9)², то числу λ = 7 (алгебраическая кратность у него один, степень равна единичке) будет соответствовать ровно один линейно независимый собственный вектор, меньше нельзя, больше нельзя. А вот числу λ = 9 мы точно не знаем — может быть, найдется один линейно независимый собственный вектор, а может быть, найдется целых два линейно независимых собственных вектора, но точно не больше и не меньше, чем единичка и двойка. Полезно отметить следующее, что если у меня есть два разных собственных числа, то тогда собственные векторы, которые относятся к этим разным собственным числам, линейно независимы. Идея доказательства довольно проста, давайте рассмотрим ее на примере. Возьмем три вектора, v1, v2 и v3, которые растягиваются в два, три, и восемь раз соответственно. И, допустим, они линейно зависимы, ну, между ними какое-то соотношение есть. Пусть будет v3 = 7*v1 − 4*v2. Это соотношение мы, соответственно, домножим матрицу A на левую и правую сторону. Что получится? Вектор v3 растянется в восемь раз, v1 растянется в два раза, v2 растянется в три раза. Поделим на восемь (поделим на наибольшее общее число) и увидим, что получилось новое линейное соотношение. v3 = 2/8 * 7*v1 − 3/8 * 4*v2. То есть мы видим, что каждый коэффициент уменьшился. Поскольку мы поделили на максимальное собственное число, то, соответственно, каждый коэффициент при этом домножился на число по модулю меньше одного. Первый домножился на 2/8, второй домножился на 3/8. И эту операцию с домножением на левой и правой части мы можем делать раз, два, три, четыре, пять... И если мы будем так делать много-много-много раз, то мы получим, что v3 = 0. То есть получается, что собственный вектор — нулевой, а это нельзя по определению, противоречие. Соответственно, линейная зависимость между собственными векторами, которые относятся к разным собственным числам, она невозможна. Мы установили, что векторы, отвечающие различным собственным числам, независимы линейно. Соответственно, получается, что в каждом множестве собственных векторов, соответствующих заданному собственному числу, найдется γi линейно независимых собственных векторов. И, соответственно, если эти γi в сумме дают n, то получается, что во всем большом пространстве Rn есть базис из n векторов, являющихся собственными векторами оператора L. И это фантастически прекрасный базис. Правда, может не повезти, но может повезти. Допустим, что такой базис нашелся. Допустим, что мы нашли n векторов, v1, v2, v3, ..., vn, которым соответствуют какие-то собственные числа, и эти векторы v1, ..., vn линейно независимы, то есть они образуют базис в пространстве Rn. Окажется, что мы сможем матрицу A представить в виде комбинации двух матриц, P и D. А именно, в матрицу P запишем столбцами собственные векторы. Один за одним, первый, второй, третий и так далее А в матрицу D — она у нас будет диагональной, то есть везде будут стоять нули, кроме главной диагонали. Так вот, в матрицу D мы запишем собственные числа на диагональ, в том же порядке, что и собственные векторы. И в результате окажется, что L можно будет представить в виде P* D*P в −1-й. Ну давайте посмотрим на объяснение, почему это возможно. Ну действительно, заметим, что если я P домножу на базисный вектор ei, то есть вектор где на i-том месте стоит единичка, а кругом нули, то я получу, по определению матрицы линейного оператора, я просто получу i-тый столбец матрицы v, то есть собственный вектор vi. Дальше, домножу на L левую и правую часть. Слева я получу L*P*ei, а справа я получу λ*P*ei. Дальше, домножим все на P в −1-й. Получим, что P в −1-й*L*P*ei = λi*ei, справа P и P в −1-й сократятся. А дальше мы вспомним, что диагональная матрица, у которой на диагональке стоят λ — это была одна из первых матриц, с которой мы познакомились, и она, действительно, просто растягивает базисные векторы. Поэтому мы можем записать наше соотношение, что P в −1-й*L*P*ei = D*ei. Это и означает, что D = P в −1-й*L*P или, по-другому говоря, L разбито в произведение P*D*P в −1-й. Это разложение не всегда существует. Нам может повезти, может, базис из n собственных векторов найдется, может, не найдется, но если он нашелся, это совершенно прекрасное представление для матрицы L, обладающее кучей удобных свойств. В следующем видео мы посмотрим, как получить диагонализацию матрицы, как разложить матрицу L в произведение трех матриц P, D и P в −1-й на примере. [МУЗЫКА]
