[ЗВУК] В этом видео мы посмотрим, как возведение матрицы в степень помогает решать задачки по теории вероятностей. Давайте рассмотрим нашего героя Чебурашку. Чебурашка может находиться каждый день в одном из двух состояний: либо он весёлый (happy), либо он грустный (невесёлый, unhappy). И каждый день Чебурашка переходит из одного состояния в другое. Чебурашка — положительный персонаж, поэтому если он был весёлый, то на следующий день с вероятностью 0,8 он останется весёлым. А вот если он был грустным, то он тоже может перейти в весёлое состояние с высокой вероятностью 0,9 или останется на следующий день грустить с вероятностью 0,1. А если он был весёлый, он на следующий день тоже может загрустить, и происходит это с вероятностью 0,2. Это схема Чебурашки — как ведёт себя Чебурашка. Изначально в стартовый момент времени вектор состояния Чебурашки — x0. Давайте кодировать, что у xt будет первая компонента — это вероятность того, что он в этот день в весёлом состоянии, а вторая компонента этого вектора — это вероятность того, что он в грустном состоянии. Поэтому x0 стартует из весёлого состояния, из состояния единички, в ноль. Зададимся вопросом, например, как можно посчитать произвольное xt, то есть какова вероятность того, что в произвольный день t он будет находиться в весёлом или грустном состоянии. Ну, и например, зададимся таким вопросом, какую часть жизни нам Чебурашка грустит, какую часть жизни Чебурашка проводит в веселье, то есть зададимся вопросом, чему равен предел xt при t, стремящемся к ∞. И ответим мы на эти вопросы по вероятности и математическому анализу с помощью линейной алгебры. Начинаем. Как можно попасть в весёлое состояние из весёлого и из грустного? Соответственно, я могу сказать, что я могу быть весёлый в момент времени t либо если я был весёлый вчера и перешёл из весёлого состояния в весёлое, что происходит с вероятностью 0,8, либо если я был грустный и перешёл в весёлое состояние, что происходит с вероятностью 0,9. А как я могу оказаться в момент времени t в грустном состоянии? Я мог прийти из весёлого состояния с маленькой вероятностью 0,2 и мог в грустное состояние перейти из грустного тоже с вероятностью 0,1 * u_[t − 1]. Я радостно замечаю, что это выражение из линейной алгебры — это же линейный оператор! Давайте его запишем: (ht, ut) равняется — вот она, матрица моего линейного оператора: (0,8, 0,9, 0,2, 0,1) умножить на (h_[t − 1], u_[t − 1]). Поскольку это правило действует каждый день, я могу применить его несколько дней подряд и получить, что (ht, ut) — это произведение нескольких матриц, умноженное на стартовое состояние, то есть получается, что если вот это — это матрица A, то (ht, ut) равняется... надо сделать t шагов, то есть получится A в степени t умножить на (h0, u0), то есть вероятности нахождения в каждом из состояний в стартовый день. А как возводить матрицу в степень? Мы уже умеем, давайте возведём. Для этого нам быстренько потребуется сделать разложение матрицы A на вид P * D * P^−1, где D — это собственные числа матрицы, а P — это собственные значения. Мы сделаем это действие немножко быстрее, то есть получим, что мы должны у матрицы A на диагонали вычесть единичку: (0,8 − λ, 0,9, 02, 0,1 − λ), приравнять этот определитель к нулю. Получится характеристический многочлен матрицы (0,8 − λ) * (0,1 − λ) − 0,2 * 0,9 = 0. Давайте его быстренько дорешаем, получим λ^2 минус 0,9λ (тут будет 0,08, здесь будет 0,18) минус 0,1 равняется нулю. Один корень угадывается — это λ1 = 1, второй корень по теореме Виета — это свободный член −0,1. И соответственно, осталось найти собственные числа. Для того чтобы найти собственные векторы, соответствующие числу λ1 = 1, мне надо вычесть единичку по диагонали: (0,8 − 1, 0,9, 0,2, 0,1 − 1). Получается (−0,2, 0,9, 0,2, −0,9). Для того чтобы найти собственные векторы, соответствующие λ2 = −0,1, я то же самое делаю с λ, равной −0,1. У меня получается (0,8 + 0,1, 0,9, 0,2, 0,1 + 0,1). Получается (0,9, 0,2, 0,9, 0,2). Соответственно, замечаем заодно прикольный факт, что столбики этой матрицы будут собственными векторами для λ = 1, а столбики первой матрицы — собственными векторами для λ = −0,1. Поэтому получаем здесь собственный вектор — это, например, (9, 2), а здесь, например, собственный вектор — это (1, − 1). И таким образом мы получаем разложение матрицы A. Наша матрица A, которая нам предскажет будущее Чебурашки, (ht, ut) равняется (9, 2, 1, −1) умножить на (1, 0, 0, −0,1). Мы знаем, что диагональные нам придётся возвести в степень t, потому что A^t — это P * D^t * P^−1. Здесь появится возведение в степень t, а здесь появится обратная матрица к P и умножить ещё на стартовое состояние — на (1, 0). Таким образом, мы вывели явную формулу для вероятности того, что Чебурашка в день t будет весёлым и грустным. И конечно, мы можем заметить, что в данном случае с ростом t единичка в степени t никак не меняется, а −0,1 в степени t становится всё меньше и меньше. И поэтому если от стартового дня пройдёт очень большой промежуток времени (давайте здесь напишем h∞ и u∞ для обозначения предела), то мы получим (9, 2, 1, −1) умножить на (1, 0, 0, 0) (−0,1 устремится к нулю). Здесь будет (9, 1, 2, −1)^ −1 умножить на (0, 1). И если мы довершим эти действия, то мы получим следующий результат. Получаем. (h∞, u∞) равняется: умножаем матрицу (9, 1, 2, −1) на (1, 0, 0, 0), получаем (9, 2; 0; 0). Дальше мы должны обратить матрицу (9; 1; 2; −1), да ещё домножить на вектор (1, 0), получаем (9, 2, 0, 0) умножить (определитель здесь −9, да ещё − 2) на −1/11. Дальше находим обратную матрицу по методу Крамера, получаем (−1, 9, −1, −2) и ещё умножить на (1, 0). Умножение на (1, 0) оставляет нам по договорённости первый столбец матрицы, получаем (9, 2, 0, 0) умножить на −1/11 на (−1, −2). И наконец, получаем, что нам надо (9, 0, 2, 0) умножить на (1/11, 2/11), и получается соответственно 9/11 и 2/11. Соответственно, мы с помощью линейной алгебры решили задачу по теории вероятностей и немножко по математическому анализу. И мы получили результат, что Чебурашка 9/11 в своей жизни проводит в веселье, но иногда, с вероятностью 2/11, всё-таки грустит. [ЗВУК]
