[МУЗЫКА] В этой лекции мы поговорим о спектральном разложении, то есть о представлении матрицы в виде произведения более простых матриц. Начнем мы с собственных чисел и с собственных векторов матрицы в этом видео. План атаки у нас будет следующий. Сначала мы посмотрим на некие свойства и способ получения собственных чисел и собственных векторов, а затем мы обсудим, что такое характеристический многочлен, какие у него есть свойства, поговорим об алгебраической кратности собственных чисел. Давайте вспомним, что если оператор L переводит n-мерное пространство в n-мерное, то ненулевой вектор v, который растягивается в λ раз под действием оператора L, называется собственным вектором, а то число λ, во сколько раз он растягивается, называется собственным числом. На картинке мы видим, что вектор a является собственным вектором, потому что он растянулся в λ раз под действием L. Соответственно, когда мы говорим о собственных числах и собственных векторах матрицы размера n x n, то мы подразумеваем собственные числа и собственные векторы линейного оператора, которые закодированы этой матрицей. Для абстрактного векторного пространства, конечно, матрица будет зависеть от выбора базиса e в этом пространстве. Но окажется при этом, что выбор базиса никак не сказывается на собственных числах и собственных векторах матрицы, потому что это свойство линейного оператора, а не матрицы. Итак, нам нужен какой-то алгоритм нахождения собственных чисел и собственных векторов. Чтобы получить этот алгоритм, обратим внимание на следующее свойство. Мы должны найти из уравнения Lv = λv и вектор v, и число λ. Но если мы нашли какой-то вектор v, который является собственным, то обратим внимание, что вектор v', который является вектором v, домноженным на константу c, также будет собственным. Действительно, если я помножу v на L', то я получу L * c * v; c переставлю с матрицей и получу, что это в результате λ * v'. То есть получается, что если v — собственный вектор, то и v' — тоже собственный вектор. Получается, что собственные вектора никогда не ходят поодиночке, вместе с любым собственным вектором приходит сразу бесконечная пачка собственных векторов. То есть система L * v = λ * v должна иметь не одно решение нулевое, а бесконечное количество решений. Именно это ключевое свойство и дает нам ключ к алгоритму. Итак, как же найти собственные числа? Перепишем систему L v = λ v в виде (L − λI) v = 0, то есть просто перебросим все в левую часть и получаем более простую систему. Система имеет бесконечное количество решений, если определитель матрицы системы, то есть определитель (L − λI) v = 0, и соответственно у нас готов алгоритм. И из уравнения определитель (L − λI) v = 0 находим собственные числа, λ1, ..., λk. Это условие не содержит v. А потом на втором шаге, найдя λ1, λ2, для каждого λ решаем соответствующую систему уравнений (L − λI) v = 0 и находим все собственные векторы для каждого λ. В силу особой важности многочлена определитель L − λI он называется характеристическим многочленом, то есть имеет свое особое персональное имя. И соответственно характеристическим членом матрицы называется характеристический многочлен того линейного оператора, который матрица кодирует. Для примера рассмотрим матрицу A = (460 640 007). И если мы хотим посчитать ее характеристический многочлен, мы вычитаем из матрицы A λ, домноженную на единичную матрицу. В результате λ вычитаются на диагональке матрицы A. Считаем определитель. Например, можно разложить по третьей строке или по третьему столбцу. И получаем в результате два варианта записи характеристического многочлена. Один в виде суммы λ с разными степенями −λ³ + 15λ² − 36λ − 140, а второй с разложением на сомножители. И из характеристического многочлена мы можем многое узнать о матрице. Например, например, если я найду корни характеристического многочлена, в данном случае это 7, − 2 и 10, то это и есть собственные числа. Соответственно про матрицу A я знаю, что есть какие-то векторы, которые она растягивает в семь раз, есть какие-то векторы, которые она растягивает в два раза и меняет им направление, и есть какие-то векторы, которые она растягивает в десять раз. А у каких-то векторов она меняет и направление, и длину. Еще из определителя, просто из характеристического многочлена также я могу найти определитель. Действительно, если я подставлю в характеристический многочлен λ = 0, то я должен получить определитель A − 0 * I (единичную матрицу), то есть, просто говоря, определитель A. Таким образом, если подставить λ = 0 в характеристический многочлен, то в данном случае получится −140. И это и есть определитель матрицы A. То есть она меняет объемы параллелепипедов в 140 раз, да еще и меняет им ориентацию на противоположную. Поговорим о таком понятии, как алгебраическая кратность корня. Если я работаю с действительными числами и рассмотрю какой-нибудь произвольный многочлен любой степени, то я его могу разложить на сомножители. И это разложение более-менее единственное. Если я раскладываю до упора, то у меня получится x − 1-й корень в какой-то степени помножить на x − 2-й корень в какой-то степени и так далее. Останется в конце еще многочлен g(x), который не имеет корней (имеется в виду, не имеет действительных корней). И соответственно степень ki называется алгебраической кратностью корня xi. То есть если (x − x1) находится в степени k1, то k1 — это кратность корня x1. На примере, если характеристический многочлен равен −(λ − 7)²(λ + 3), то собственное число семерка имеет алгебраическую кратность 2, потому что соответствующая скобка в квадрате. А собственное число −3 имеет алгебраическую кратность 1, потому что соответствующая скобка находится в первой степени. И соответственно если линейный оператор L превращает n-мерное пространство в n-мерное, то сумма алгебраических кратностей ki действительных собственных чисел λi не превосходит n. И еще одним полезным свойством характеристического многочлена является теорема Гамильтона — Кэли. Если подставить матрицу A в характеристический многочлен, вообще говоря, характеристический многочлен — это функция от действительной переменной λ, но если мы вместо действительной переменной λ подставим целую матрицу, то получится матрица из нулей. Например, если характеристический многочлен от λ равен λ² − 3λ + 8 для какой-то матрицы A, то я могу смело утверждать, что A² − 3A + 8 на единичную матрицу равняется нулю. Или, например, могу найти забавное соотношение: я могу сказать, что для данной матрицы A² = 3A − 8I. В следующем видео мы на примере выведем собственные числа и собственные векторы данной матрицы. [МУЗЫКА]
