[МУЗЫКА] В этом видео мы посчитаем определитель, руководствуясь идеей скашивания параллелограмма. Давайте еще раз обсудим ее. Если у меня есть параллелограмм со сторонами a и b, их задают два вектора a и b, у него есть какая-то площадь S, то если я рассмотрю другой параллелограмм, одну сторону я оставлю как есть, сторону b, а другую сторону возьму a + b, у меня получился новый параллелограмм. тут b, а тут a + b. И площадь нового параллелограмма, естественно, равна площади старого. Потому что я потерял треугольник и прибавил треугольник. И эта замечательная идея легко позволит нам считать определитель любой матрицы. Поехали. Рассмотрим матрицу 1 5 2 6 и посчитаем ее определитель. Руководствуясь идеей скашивания, возьмем, например, и первую строчку вычтем из второй два раза, просто два раза прибавляем или вычитаем, получим определитель матрицы 1 5, а здесь будет 0 −4. Теперь возьмем вторую строчку, прибавим к первой 5/4 раза, получим определитель 1 0 0 −4. И замечаем, что каждый вектор просто, первый как есть 1 0, это второй — это вектор 0 1, растянутый в −4 раза. Значит, если мы сократим вектор в −4 раза, то у нас площадь с учетом знака тоже сократится во столько раз, а определитель единичной матрицы, определитель кирпичика, равен 1. Получили −4. Рассмотрим ту же самую идею с более крупной матрицей. Посчитаем определитель матрицы 2 1 3 1 −1 2 6 3 2. Для начала первым шагом для удобства поменяем местами первую и вторую строчку, потому что 1 вычитать из 2 и 6 проще, чем 2 из 1, не возникнет дробных чисел. Поэтому посмотрим, у нас будет определитель с минусом из-за того, что мы меняем строчки, 1 −1 2 2 1 3 6 3 2. Теперь сделаем задуманное скашивание. Из третьей строчки вычтем первую строчку шесть раз и из второй строчки вычтем первую строчку два раза. При этом у нас получится минус определитель, скашивание не меняет объем параллелепипеда, поэтому получится 1 −1 2 0, из 1 вычитаем два раза −1 — получим 3, из 3 вычитаем два раза 2 — получим −1, наконец, здесь получаем 0. Из 3 вычитаем шесть −1 — получаем 9, из 2 вычитаем шесть 2 — получаем −10. Повторяем нашу идею скашивания, на этот раз из третьей строчки вычитаем вторую строчку три раза, получаем в результате минус определитель, первые две на этот раз строчки просто копируем, получаем в третьей 0 0, и из −10 вычитаем три раза −1 — будет соответственно −7. А дальше применяем идею скашивания в обратную сторону. Строчку 0 0 −7 вычитаем несколько раз из второй и третьей, −1 и 2 превратятся в 0, вот эти числа станут нулями. Потом повторяем операцию скашивания, 0 3 0 прибавляем 1/3 раза к первой строке, получаем 0 еще и вот здесь. И в результате совершенно бесплатно получаем минус определитель матрицы 1 3 0 0 0 0 0 0 −7. Поскольку у нас растянутая векторы в три раза и в −7 раз, мы вынесем 3 и −7 за скобки и получим −1 * 3 * (−7) * определитель единичной матрицы, а он равен 1. Соответственно, получается, что искомый определитель равен 21. Таким образом, идея скашивания и перестановка строк легко позволяют нам находить любой определитель. [МУЗЫКА]