В этом видео мы решим вот такую систему линейных уравнений и посмотрим, какой вид имеет ответ. Поехали! Вот наша страшная система уравнений: x1 плюс x2, плюс 2x3, плюс 3x4 равно пяти; 2x1 плюс 3x2, минус x3, плюс 2x4 равно двум; и 5x1 плюс 6x2, плюс 5x3, плюс 11x4 равно 17. Во-первых, давайте запишем ее с помощью матрицы. Смотрите, оказывается, с помощью матрицы ее можно записать как A умножить на x равно правой части b. Действительно, в правой части b у нас находятся 5, 2 и 17. X — это наш вектор неизвестных x1, x2, x3, x4, а A — это матрица, в которой записаны коэффициенты: 1, 1, 2, 3; 2, 3, минус 1, 2 и 5, 6, 5, 11. Действительно, давайте убедимся, что эта запись корректна. Как получается минус двойка по правилам матричного умножения? Раз это элемент во второй строке, надо взять вторую строку из левой матрицы и домножить на единственный столбец правой. Как раз и получится: 2 на x1 плюс 3 на x2, минус 1 на x3, плюс 2 на x4 равно 2 — ровно второе уравнение. А теперь попробуем решить нашу систему, только записывая ее компактно, опуская сами неизвестные. Что же, запишем такую матрицу: 1, 1, 2, 3; 2, 3, минус 1, 2; 5, 6, 5, 11, палочка, которая разделяет левую и правую часть, а здесь: 5, 2 и 17. Давайте подумаем, какие действия мы можем делать с уравнениями. Первое разрешенное действие вполне естественно: если у нас есть уравнение один и уравнение два, то мы, конечно, можем их переставить местами, ничего в системе от этого не поменяется. Уравнение два, уравнение один. Это будет наше первое разрешенное действие. Второе разрешенное действие состоит в том, что мы можем уравнение какое-то (например, первое) домножить на ненулевое число. Если мы домножим уравнение на ноль, то мы, конечно, потеряем информацию. Но если мы домножим не на ноль, то эта операция будет обратима, поэтому можно домножать уравнение на число. И, наконец, третья операция: если у нас есть два уравнения (пусть будет первое и второе), мы можем уравнение один сохранить, а к уравнению два прибавить уравнение первое, домноженное на некоторое число. Вот у нас будут три разрешенных операции, которые явно не меняют множество решений системы. Итак, поехали. Основной метод решения уравнений — это избавляться от неизвестных, чтобы жизнь становилась проще. Основной метод — избавляемся от неизвестных. Давайте сначала избавимся от x1 во втором и третьем уравнении. А потом избавимся от x2 в третьем уравнении. Потихоньку мы эти элементы заменим на нули, и тогда у нас в каждом последующем уравнении будет получаться меньше неизвестных. Это будет систематично, и мы не зациклимся, не получим что-нибудь типа шесть равно шести. Иногда, когда решаешь систему случайно, такое бывает, а мы будем решать систематически. Итак, протоколируем наши действия: из уравнения два (давайте я не буду писать "ур") мы вычтем уравнение один, помноженное на два (то, что в кружочке, — это номер уравнения, то, что без кружочка, — это число), а из третьего уравнения вычтем первое уравнение, домноженное на пять. В одном случае мы поместим результат на место второго уравнения, в другом случае мы поместим результат на место третьего уравнения. Итого после этого действия у нас получится: первое уравнение мы не трогаем, мы им убиваем нули в первом столбце ниже. Мы им, еще раз, сейчас зануляем вот эти два числа. Получим: из двойки вычитаем дважды единичку, будет ноль; из тройки вычитаем дважды единичку, будет один; из минус единички вычитаем дважды двойку, будет минус пять; из двойки вычитаем дважды тройку, будет минус четыре; из двойки вычитаем дважды пятерку, будет минус восемь; из пятерки вычитаем пятижды единичку, будет нолик; из шестерки вычитаем пять единичек, будет один; из пятерки вычитаем пять двоек, будет минус пять; из 11 вычитаем пять троек, будет минус четыре; из 17 вычитаем пять пятерок, будет минус восемь. Продолжаем нашу игру. Если посмотреть на этот кусочек, здесь уже два уравнения, а неизвестных меньше. Продолжаем борьбу за меньшее число уравнений и меньшее число неизвестных. Сейчас мы сосредоточимся на убийстве вот этой единички, обведенной в кружочек. Соответственно, мы из уравнения три вычтем уравнение два и поместим результат в уравнение три. Первое вообще не трогаем. Второе тоже не трогаем. И только из третьего уравнения вычитаем второе. Получаем строчку из нулей. Давайте заметим, что эта матрица ступенчатого вида: каждое последующее уравнение содержит меньше неизвестных, чем предыдущее, поэтому удобней решать с конца. Выпишем нашу систему, начиная со второго уравнения. В уравнение два вернем на секундочку обратно иксы: x2 минус 5x3, минус 4x4 равно минус восьми; и уравнение один: x1 плюс x2, плюс 2x3, плюс 3x4 равно пяти. И, соответственно, из каждого уравнения мы выразим первую переменную с ненулевым коэффициентом. Из второго уравнения мы выразим x2, из первого уравнения мы выразим x1. Это всегда возможно, нам не придется делить на ноль. Что же, давайте попробуем. Записывая неизвестную с ненулевым коэффициентом, получаем, что x2 равняется минус восемь плюс 5x3, плюс 4x4, а x1 равняется пять минус x2, минус 2x3, минус 3x4. Замечаем, что уравнение два нам уже дало x2, поэтому мы его можем подставить, и в результате получаем: пять плюс восемь, минус 5x3, минус 4x4, минус 2x3, минус 3x4. Приводим подобные слагаемые, и x1 оказывается равным 13 минус 7x3, минус 7x4. И мы можем записать ответ: x1, x2, x3, x4. Заметим, что у нас у неизвестных немножко разная роль: x3 и x4 — это любые числа, мы их можем выбрать от фонаря, совершенно любые действительные числа, поэтому мы тут так и напишем x3, x4. А x1 у нас 13 минус 7x3, минус 7x4. И x2 у нас минус восемь плюс 5x3, плюс 4x4. Можно уточнить, что здесь x3 и x4 — любые действительные числа. Возьмем одну пару x3 и x4, например, 17 и корень из трех, — получим одно решение системы. Возьмем другую пару — получим другое решение системы. Также можно ответ записать более структурно. Отберем сначала все константы из каждого уравнения: 13 минус 8, а просто голых констант в третьем и четвертом уравнении нет. Потом соберем все, что содержит x3: минус 5, минус 7, 5, 1 и 0. И все, что содержит x4: минус 7, 4, 0 и 3. И, соответственно, ответ у нас представлен в виде вектора констант и линейной комбинации еще двух векторов. Давайте заметим немножко разную роль этих двух частей. Обратим внимание, что, если бы мы решали другую систему, а именно, если бы мы решали систему A, а в правой части было бы три нуля, то решение было бы абсолютно аналогично за одним единственным отличием: никаких констант вот здесь бы не возникло. В этом случае мы бы получили в результате ответ: x1, x2, x3, x4 равняется вот этой линейной комбинации — x3 умножить на минус 7, 5, 1, 0, плюс x4 умножить на минус 7, 4, 0, 3. Из этого следует, что вот эта часть решения имеет роль решения соответствующей системы с нулевой правой частью. А вот первая часть решения тоже легко интерпретируется. Если я вместо x3 и x4 подставлю 0, 0, то получу x1, x2, x3, x4, равные 13 минус 8, 0, 0. Но поскольку я имею право подставлять любые x3, x4, получается, что это всего лишь одно из решений исходной системы. Одно из решений исходной системы. Таким образом, мы в этом видео решили систему уравнений, записали ответ покомпонентно и в виде разложения на две части. Одна часть — это одно из решений исходной системы, а вторая — это все решения соответствующей системы с нулевой правой частью. В следующем видео мы подведем итоги решению системы уравнений и матричному умножению.
