[МУЗЫКА] В этом видео мы введем понятие ранга оператора. Для этого для начала мы посмотрим на множество значений линейного оператора, а потом определим, что такое ранг. Любой вектор v представим в виде линейной комбинации v1 * e1 + v2 * e2 +... + vn * en, где соответственно e1 — это вектор, у которого на первом месте стоит единичка, а на остальных — нули. По свойству линейности, когда я буду применять линейный оператор L к произвольному вектору v, я получу v1 * линейный оператор L, примененный к вектору e1, + v2 * Le2 +... + vn Len. Из этого сразу видно, что множество значений любого линейного оператора L — это просто линейная оболочка векторов Le1, Le2, ..., Len. И соответственно рангом линейного оператора L называется размерность этого образа, этой линейной оболочки. Давайте рассмотрим несколько примеров. Начнем с удаления компоненты вектора. Если оператор L превращает вектор (a1 a2 a3) в вектор (a1 a2), то, рассмотрев действия оператора L на базисных векторах, мы видим, что результатом является либо вектор (1 0), либо вектор (0 0), либо вектор (0 1). Соответственно все, что можно получить, применяя линейный оператор L, это линейную оболочку векторов (1 0), (0 0) и (0 1). Но, конечно, эти три вектора линейно зависимы. И если мы вычеркнем из них нулевой вектор, то мы получим базис для образа линейного оператора, который будет содержать два вектора (1 0) и (0 1). И таким образом, ранг линейного оператора L, или размерность образа линейного оператора, — это двойка. Посмотрим на оператор проецирования. Оператор H проецирует любой вектор на плоскости на прямую L. Но это означает, что, применяя оператор H к разным векторам плоскости, можно получить любой вектор на прямой. Стало быть, образ оператора H — это линейная оболочка произвольного вектора a, который лежит на этой прямой L, на которую мы проецируем. Соответственно ранг оператора проецирования на прямую равен единичке. А если мы обобщим этот пример до проецирования на плоскость или до более крупных размерностей, то у нас окажется, что ранг проецирования оператора проекции H равен размерности того пространства, на которое мы проецируем. И для оператора проецирования есть дополнительный термин. Следом оператора проецирования также называется ранг. След мы обобщим чуть позже и для других линейных операторов, но для операторов проецирования что ранг, что след — это абсолютно одно и то же понятие. Давайте рассмотрим оператор поворота. Если оператор R поворачивает плоскость на 30 градусов против часовой стрелки, то, конечно, поворачивая разные вектора, я получу любой вектор плоскости. Соответственно получается, что образом является вся плоскость. А раз образом является вся плоскость, а базисом на плоскости являются векторы e1, e2, то, конечно, ранг оператора поворота плоскости равен двойке. Есть некоторые неравенства, которые иногда позволяют просто посчитать ранг или хотя бы ограничить его. Но во-первых, ранг оператора L, который действует из пространства Rn в Rk, не превосходит ни n, ни k. Во-первых, для доказательства заметим, что базис во всем пространстве Rk содержит всего k элементов, значит, базис образа еще меньше k или меньше векторов будет содержать. И аналогично, поскольку образ, получается, как линейная комбинация векторов Le1, Le2, ..., Len, то получается, что больше n элементов в базисе линейной оболочки никак не наберется. Также есть ограничения на ранг произведения на ранг композиции операторов. Если я применяю сначала оператор L1, а потом оператор L2, то ранг итогового оператора не превосходит минимального из рангов. Доказательство основано на следующих двух наблюдениях. Во-первых, образ оператора L2 не меньше, чем образ композиции сначала L1, потом L2, потому что L1 может какие-то элементы на выходе не выдавать. Поэтому соответственно, применяя L2 к разным векторам, я получу не меньше, чем применяя L1, L2 к разным векторам. Соответственно второе утверждение, что если образ L1 является линейной оболочкой векторов v1, v2, ..., vp, то образ L2L1 является линейной оболочкой оператора L2, примененного к этим p векторам, и стало быть, размерность тоже не превосходит p. Поскольку мы определили ранг для линейного оператора, то у нас автоматом возникает понятие ранг матрицы. Рангом матрицы линейного оператора называют ранг соответствующего оператора. И конечно, ранг матрицы оказывается равен максимальному количеству линейно независимых столбцов матрицы, потому что именно эти линейно независимые столбцы и будут базисом в линейной оболочке образа L. В следующем видео мы посмотрим, как руками легко и просто можно применить оператор L, записанный в виде матрицы, к произвольному вектору из Rn. [МУЗЫКА]
