[МУЗЫКА] В этом видео мы введем понятие линейной оболочки векторов, обсудим, что такое базис линейной оболочки и что такое размерность линейной оболочки векторов. Итак, определение. Линейная оболочка — это такое множество M, которое содержит все возможные комбинации векторов v1, v2, v3, ..., vk. Обозначается Span и список векторов, для которых множество M является линейной оболочкой. На картинке можно представить следующую ситуацию. Например, линейной оболочкой векторов a и b является плоскость, в которой они лежат, и поэтому вектор c лежит в линейной оболочке векторов a и b. А вот вектор d не лежит в линейной оболочке векторов a и b, потому что не лежит в соответствующей плоскости. Базисом линейной оболочки векторов x1, x2, ..., xk называется такой набор векторов A = {v1, v2, ..., vd} (их может быть другое количество), если выполнены следующие два условия. Линейная оболочка векторов v1, v2, ..., vd совпадает с линейной оболочкой векторов x1, x2, ..., xk, но набор векторов A является линейно независимым. На картинке, если мы рассмотрим линейную оболочку векторов a, b и c, то линейная оболочка векторов a, b и c — это плоскость. И для нее можно базис выбрать, конечно, не единственным образом. Ну, например, базисом A1 будут два вектора a и b, базисом A2 будут векторы b и 2c, и еще один пример базисов это A3 — 3a и 5c. Давайте рассмотрим еще пару числовых примеров. Если мы рассмотрим линейную оболочку M, линейную оболочку векторов (1,1), (3,0) и (0,4), то базисом для M, например, одним из, будет набор из векторов (0,2) и (3,4). По сути, мы просто взяли и удалили один линейно зависимый вектор. А, например, другим базисом будет набор векторов B, (1,0) и (7,−4). Зачем нужен базис? Основным свойством базиса является единственность разложения. А именно, пусть у нас есть некая линейная оболочка M, и мы нашли базис для нее, то есть базис содержит вектора v1, v2, ..., vd. Тогда оказывается, что любой вектор x из этой линейной оболочки M единственным образом представим в виде линейной комбинации векторов v1, v2, ..., vd. То есть веса α1, α2, ..., αd — единственны. Доказательство этого утверждения основано на двух фактах. Ну, во-первых, линейная комбинация базиса совпадает с M, значит, любой вектор из M все-таки представим хоть как-то в виде линейной комбинации элементов базиса. А во-вторых, единственность следует из следующего доказательства от противного. Допустим, что у вектора x есть два разложения по базису. То есть α1*v1 +... + αd*vd и альтернативное разложение α'1 * тот же базисный вектор v1 +... + α'd * базисный вектор vd. Ну а тогда просто перенесем все векторы в одну сторону, поскольку не все α совпадают, то после перенесения в одну сторону будет какой-то ненулевой коэффициент при каком-то векторе, а линейная комбинация нулевая получилась. Значит, искомые вектора v1, ..., vd получаются линейно зависимыми, что противоречит определению базиса. У базиса линейной оболочки есть и ряд других удобных свойств. Ну, например, конечно, если сам набор A = {v1, v2, ..., vk} линейно независим, то, конечно, он является базисом для своей собственной линейной оболочки. Во-вторых, если мы нашли два разных базиса для одной и той же линейной оболочки, то эти базисы будут содержать одинаковое количество элементов. И третье полезное свойство. Если набор A содержит k векторов, то базис линейной оболочки этого набора содержит k векторов или меньше. Почему может получится меньше — если исходные векторы были линейно зависимы, то мы просто можем вычеркнуть линейно зависимые векторы при нахождении линейной оболочки, и получится, что базис содержит меньше элементов, чем вектора, для которых мы искали линейную оболочку. Понятие базиса дает нам возможность ввести понятие размерности линейной оболочки. Размерностью линейной оболочки M называют число элементов базиса данной линейной оболочки. На картинке ситуация выглядит следующим образом. Если мы рассмотрим векторы a, b и c, то базисом для линейной оболочки этих векторов, для плоскости, является, например, набор векторов a и b. И поскольку в базисе два вектора, то, соответственно, размерность линейной оболочки a, b, c равна двум. А, например, размерность линейной оболочки векторов a, b, d равна трем, потому что среди векторов a, b и d нет линейно зависимых. И вспомним наше определение пространства Rn. Мы говорили, что пространство Rn — это множество всех возможных векторов столбцов из n чисел. Ну, заметим, что, говоря нашим новым языком, введенным в этой лекции, любой вектор x1, ..., xn, множество таких векторов — это, конечно, линейная оболочка векторов (1,0,0,0,0,0), (0,1,0,0,0,0) и так далее. Векторов, у которых одна единичка, а остальные нули. Ну, раз наше пространство Rn представимо в таком виде, то в силу независимости векторов (1,0,0,0), (0,1,0,0) и так далее размерность Rn равна n. В следующем видео мы введем абстрактное понятие векторного пространства, где векторами уже будут не только столбцы чисел, но более сложные объекты. [МУЗЫКА]
