В этой лекции мы поговорим о матричной форме записи линейного оператора. Начнем мы с определения линейной комбинации и независимости набора векторов. В этом видео, соответственно, мы введем понятие линейной комбинации векторов и поймем, какие наборы векторов называются зависимыми линейно, а какие наборы векторов называются линейно независимыми. Итак, определение. Вектор c называется линейной комбинацией векторов v1, v2, и так далее, vk, если его можно представить в виде суммы этих векторов с некоторыми действительными весами Альфа1, Альфа2, и так далее, Альфа K. Например, вектор (4, 5) — это линейная комбинация векторов (1, 0) и (1, 1), потому что (4, 5) — это минус единичка умножить на вектор (1, 0) плюс 5 умножить на вектор (1, 1). Геометрически линейную комбинацию можно увидеть на следующей картинке: c — это два вектора a плюс один вектор b. Это означает, что, чтобы пройти путь по вектору c, мне достаточно дважды пройти вектор а, а потом еще пройти один раз вектор b. Заметим, что любой вектор из пространства R2 есть линейная комбинация векторов (1, 0) и (0, 1). Действительно, если вектор (1, 0) домножить на число v1, а вектор (0,1) домножить на число v2, то получится, конечно, произвольный вектор (v1, v2). Аналогичное правило действует и для пространства R3: любой вектор v1, v2, v3 можно представить, как v1 умножить на вектор (1, 0, 0) плюс v2 умножить на вектор (0, 1, 0) плюс v3 умножить на вектор (0, 0, 1). Теперь введем понятие линейной зависимости и линейной независимости набора векторов. Набор векторов A из двух и более векторов называется линейно зависимым, если хотя бы один вектор из набора можно выразить через другие. И для формализации считают, что набор, состоящий из одного нулевого вектора, тоже формально считается линейно зависимым. На картинке линейная зависимость представляется следующим образом. Если посмотреть на данную картинку, мы видим, что изображены вектора a, b, c, и d. Если посмотреть на вектора a, b, c (набор из трех векторов), то этот набор линейно зависим, потому что, например, вектор c можно выразить как несколько a плюс несколько b (они лежат в одной плоскости), а набор векторов a, b, d является линейно независимым, потому что, если я буду комбинировать вектора a и b, я никогда не получу d, я останусь в плоскости векторов a, b. Аналогично, комбинируя вектора a, d, я никогда не получу b, а комбинируя вектора b, d, я никогда не получу a. Рассмотрим пару числовых примеров. Набор A из двух векторов (0, 2) и (3, 4) — линейно независимый, например, вектор (3, 4) нельзя выразить через вектор (0, 2), потому что на сколько ноль не домножай, тройку не получишь. И аналогично, чтобы получить ноль из тройки надо ее домножить на ноль, а при этом четверка не превратится в двойку. А вот если рассмотреть набор B из трех векторов (0, 2, 0), (3, 4, 0), (1, 0, 0) — он линейно зависим, потому что, например, вектор (3, 4, 0) можно представить, как дважды вектор (0, 2, 0) плюс трижды вектор (1, 0, 0). Существует эквивалентное определение линейной зависимости. Говорят, что набор векторов A из v1, v2, и так далее, vk называют линейно зависимым, если можно подобрать такие веса Альфа1, Альфа K, не все из которых равны нулю, так чтобы итоговая линейная комбинация все-таки равнялась нулю. В этом случае набор называется линейно зависимым. Конечно, это определение линейной зависимости абсолютно эквивалентно старому. Как это увидеть? Представим себе, что у нас есть некая комбинация с ненулевыми Альфа i-тыми, тогда я выберу тот вектор, перед которым стоит ненулевой коэффициент, и выражу его через остальные, потому что я имею право делить на число, отличное от нуля. И наоборот: если, например, вектор v2 выражен через вектора v1 и v3 с какими-то весами, то я перенесу все слагаемые в одну сторону и получу, что Альфа1 v1 минус один v2 плюс Альфа3 v3 равняется нулю. В следующем видео мы введем понятие линейной оболочки.
