[МУЗЫКА] В этом бонусном видео мы краешком глаза посмотрим на такую прекрасную жемчужинку, как комплексные числа. Давайте рассмотрим линейные операторы, которые действуют на плоскости, которые превращают плоскость в плоскость, а именно даже не все из них, а только растяжения, повороты и их композиции. Давайте рассмотрим такое множество, назовем его C. Это будут все растяжения плоскости во сколько-то раз, повороты и их композиции. Давайте изобразим их для начала. Вот если есть у меня какой-то вектор v, то поворот просто вращает. Вот у меня получается L * v. А растяжение просто растягивает. Был какой-то вектор v, и я взял его и растянул во сколько-то раз, он сохранил прямую, на которой он лежал. Давайте заметим, что неважно, в каком порядке выполнять эти операции. Вы можете взять вектор v, сначала повернуть. То есть получится какой-то L1 * v, а потом растянуть. Получится L2 * L1 * v. Но с тем же самым успехом вы могли сначала растянуть, а потом повернуть. И угол сохранится поворота при этом, и число, во сколько раз вам надо растянуть вектор, тоже сохранится. Поэтому неважно, в каком порядке выполнять растяжения или повороты. Давайте я напомню, что если речь идет о повороте, то поворот на φ° против часовой стрелки будет кодироваться матрицей cos φ, sin φ, −sin φ и cos φ — это поворот. А растяжение будет, соответственно, кодироваться растяжение в r раз, оно будет кодироваться матрицей r 0 0 r. Соответственно, композиция этих двух операторов L1, L2 последовательное применение, дает нам матрицу rcos φ −r sin φ, r sin φ и r cos φ. Давайте придумаем для наших растяжений, поворотов и их композиций какую-нибудь простенькую запись. Раз у нас дело происходит на плоскости, то на плоскости у нас есть всего два базисных вектора. Первый базисный удобный вектор 1 0, второй базисный удобный вектор 0 1. Давайте их для компактности запишем одним значком. Вместо 1 0 мы будем писать просто 1, а вместо 0 1 мы будем писать просто буковку i. То есть на самом деле под единичкой мы будем иметь в виду вектор, и под 0 1 мы тоже будем иметь в виду вектор. Это первое упрощение. Упрощение один. Вторая идея, давайте заметим, что раз мы говорим только о поворотах и вращениях, то для того чтобы задать поворот или растяжение, нам соответственно достаточно понять, куда перейдет наш вектор 1 0 под действием нашего оператора L. Если мы понимаем, куда переходит 1 0, например, он повернулся на 30 ° и и увеличился в пять раз. Значит, все остальные вектора повернутся на столько же градусов и увеличатся в столько же раз. Поэтому всё, что нужно, чтобы описать наше растяжение, поворот или их композицию, сказать, что оно делает с единичкой. Соответственно понять, в какой вектор — давайте мы вот здесь вот, вот это наш вектор, мы его для краткости пишем единичкой — нам нужно понять, во что он переходит. Вот и всё. Ну, например, если я поверну этот вектор на φ ° и растяну в R раз, то он, естественно, перейдет в — давайте нарисуем на картинке, если мы берем вектор 1, поворачиваем его на φ °, а потом растягиваем в r раз, то мы получим — при повороте мы получаем cos φ + i sin φ. Вот она, этот вектор на картинке, cos φ. А вот это вот — это i sin φ. А потом растягиваем всё в r раз и получаем то, во что переводит вектор 1, первый базисный вектор, наше линейное преобразование, растяжение или поворот. Таким образом, вот эти объекты служат формой записи для растяжений, поворотов и их композиций. Ну что ж, а теперь давайте попробуем сотворить какое-нибудь чудо. Давайте попробуем в нашем новом смысле, в смысле растяжений и поворотов, решить какое-нибудь ранее нерешаемое уравнение в действительных числах. Ну, например, если я попробую в действительных числах решить уравнение z² = −4, то, конечно, в действительных числах оно решений не имеет. Если я подразумеваю, что z — это действительное число, то решений нет. Однако давайте посмотрим на это же самое уравнение с другой точки зрения. Мы скажем, что мы ищем такой поворот или растяжение или их композицию, который дважды применишь, z, а потом z, и получишь умножение вектора на −4. В рамках трактовки, то есть мы трактуем вот это же уравнение, что это z * z = −4. Ну или давайте еще раз посмотрим, что какое-то действие L, потом еще раз какое-то действие L, и оно должно быть равносильно тому, что наш исходный вектор домножился на −4. Давайте посмотрим на картинке. Жил-был какой-то вектор v. В результате двукратного применения операции L он превратился −4v. Давайте посмотрим, во сколько раз его растянули. Всего в четыре. Ну, значит, поскольку итерации было две, значит, сначала в два раза растянули и потом в два раза растянули. Значит L должно растягивать в два раза. Хорошо, если L должно растягивать в два раза, то насколько оно должно поворачивать? Смотрите, в результате v повернулся на 180 °, и он мог, например, повернуться через верх, мог повернуться через низ. То есть либо поворачивался на +90 ° два раза, либо на −90 ° два раза. Соответственно, у меня появляется два варианта. Либо L * v был вот здесь вот, либо L * v был вот здесь вот. Соответственно, получается два решения для L оператора поворота и растяжения. Первый вариант — надо соответственно наш вектор растягивать в два раза и поворачивать на 90 °. То есть получится первый вариант 0 2 −2 0, а второй вариант получается то же самое растянуть в два раза, но идти через низ поворачивать. То есть получается 0 −2 2 0. Соответственно если записывать наши два линейных оператора в компактной форме записи, то есть смотреть, во что они переводят вектор 1, горизонтальный вектор 1 0, то получится, что у нас наша z — первое решение нашего уравнения — должно растягивать в два раза r = 2, поворачивать на 90. cos 90 ° = 0, а sin 90 ° = 1. А второе решение — наше действие должно растягивать в два раза, поворачивать на −90 °, cos = 0, а sin − 90 ° = −1. Поэтому получится 2 * (−i) = −2i. Соответственно, теперь благодаря такой жемчужинке, как комплексные числа, мы умеем, например, решать уравнения, которые раньше решения не имели. z² = −4 раньше решений не имело, но если трактовать z как растяжение или поворот плоскости, числа трактовать как растягивание, то тогда получается, что у этого уравнения чудесным образом появились решения. [МУЗЫКА]
